В.3. Нормальное распределение вероятностей.

В.2. Количественные методы оценки риска.

Для оценки риска используются три метода: статистический, экспертный и расчетно-аналитический. Основное внимание мы уделим первому методу.

Суть количественных методов оценки риска – в применении математического инструментария теории вероятностей. Главными инструментами метода математической статистики являются: средняя арифметическая, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, коэффициент вариации.

Суть использования этих инструментов – это оценка степени изменчивости (движения) анализируемого параметра во времени, которая и есть РИСК. Динамика значений параметра зависит от множества неконтролируемых факторов, влияние которых носит систематический или случайный характер. Причем любой из неконтролируемых факторов может принимать случайное значение из множества возможных, тем самым, обуславливая случайность значений исследуемого параметра. Но в длительной динамике в случайности значений параметра может проявиться закономерность (тренд), причем даже сама степень случайности (отклонение фактических значений от тренда) может проявиться как вполне определенная количественно и закономерная величина.

1. Средняя арифметическая простая: х=∑х_i / n

Средняя арифметическая взвешенная: х= (∑ х_i*f_i) / ∑ f_i

Путем преобразования предыдущей формулы, можно получить иную форму записи, как сумму произведений фактических значений переменных на их частоту: х=∑ [х_i * (f_i / ∑ f_i)] или х=∑ [х_i *р], где р= f_i / ∑ f_i – это частота (или вероятность) i-го значения переменной «х».

Примечание: в случае расчетов по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

2. Дисперсия – это наиболее распространенная мера вариации признака.

А) Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений фактических значений признака от их средней величины:

σ²=∑(х_i-х)² / n

Б) при рассмотрении частоты значений признака как вероятности существует иное определение и формула расчета дисперсии. Дисперсия есть сумма произведений квадратов отклонений фактических значений признака от их средней величины на частоту (вероятность) этого отклонения.

σ²=∑ [ (х_i-х)² * (f_i / ∑ f_i) ] или σ²=∑ [ (х_i-х)² * р].

3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение – равно корню квадратному из дисперсии σ = √ σ²

4. Коэффициент вариации V_σ= (σ / х) * 100% - это относительный показатель (мера) вариации.

Основная задача анализа вариационных рядов – выявление подлинной закономерности распределения путем исключения второстепенных, случайных для данного распределения факторов.

Из математической статистики известно, что если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал группировки, то графическое изображение совокупности (полигон или гистограмма) все более приближаются к некоторой плавной линии, являющейся для него пределом и носящей название кривой распределения. Кривая распределения – это графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду.

Переход от дискретного к непрерывному распределению: «получение кривой распределения на основе полигона или гистограммы можно представить лишь для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупности и бесконечно малой ширине интервала ряда».

Графики дискретного и непрерывного распределений и вывод: более заостренная форма кривой распределения означает более высокую плотность фактических значений вокруг среднего значения, меньшую степень колеблемости показателя, т.е. меньшую степень риска. (вероятности: 25%, 50%, 25%; доходность: 8,6%, 14,3%, 20% и -25%, 14,4%, 42,8%).

Поскольку в реальности эти условия не выполняются, то задачей исследователя является сведение эмпирического распределения к одному из хорошо исследованных видов теоретического распределения: нормальному, биномиальному, распределению Пуассона и др.

Чаще всего в качестве теоретического распределения используется нормальное распределение:

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами – средней арифметической и средним квадратическим отклонением. Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действуют вместе.

Свойства нормального распределения вероятностей:

1. нормальное распределение симметрично относительно среднего (ожидаемого) значения (х_ож);

2. функция имеет бесконечно малые значения при z=+,- ∞;

3. функция имеет максимум в точке (х_ож);

4. площадь под кривой нормального распределения, ограниченная любыми двумя точками х₁ и х₂ – суть вероятность попадания фактического значения в заданный интервал между этими двумя точками.

5. Вся площадь под кривой нормального распределения равна 1,0 или 100%.

6. Площадь под кривой НВР ограниченная интервалом р(х-1σ; х+1σ) = 68,26%.

7. р(х-2σ; х+2σ) =95,44%

8. р(х-3σ; х+3σ) =99,74%

Таблица нормального распределения характеризует численное значение площади под кривой НВР (суть вероятность) f(z) для вариантов, когда имело место z-тое число стандартных отклонений (σ) от среднего значения (х_ср) влево или вправо.

z= |х_i – х_ср| / σ; чаще всего при решении задач х_i = 0;

Решение задач:

Задача №1. х_ср=30%, σ²=100%. Определить вероятность положительного значения результирующего показателя – доходности (вероятность прибыльности проекта)?

Решение. σ = √ σ² =10%

z= |х_i – х_ср| / σ = |0-30|/10 = 3.

f(z=3) = 0,4987 = 49,87%

49,87% + 50% = 99,87%

Ответ: 99,87%

Задача № 2. х_ср=5 тысяч долларов, σ²=25 миллионов долларов.определить верояность получения: а) прибыли; б) убытка; в)прибыли свыше 5 тысяч; г)прибыли свыше 10 тысяч?

Решение: σ = 5 тысяч долларов;

z= |х_i – х_ср| / σ = |0-5000|/5000 = 1.

f(z=1) = 0,3413 = 34,13%

Ответ: а) 34,13% + 50% = 84,13%; б) 100% - 84,13% = 15,87%; в) 50%;

г) 50% - 34,13% = 15,87%;

Задача №3. х_ср=20%, σ²=400%. Рассчитать вероятность, что доходность (прибыль) составит: а) свыше 20%; б) свыше 10%; в) свыше 30%; г) от 10% до 30%?

Решение. σ = √ σ² =20%;

z= |х_i – х_ср| / σ = |0-20|/20 = 1.

f(z=2) = 0,3413 = 34,13%

Ответ:а) 50%; б) 34,13% +50% = 84,13%; в)100-84,13=15,87%; г) 34,13*2=68,26%.

Задача 4. Рассчитайте вероятность рентабельного (прибыльного) выращивания пшеницы и ячменя, если цена 1ц. пшеницы =450,0 рублей, цена 1 ц. ячменя = 321,4 рублей; затраты на 1 гектар посевов идентичны и равны 2250 рублей. Также известна динамика урожайности (ц/га) пшеницы – 12, 15, 7, 18, 5; ячменя – 17, 13, 9, 11, 21.

Решение: 1) определить безубыточный уровень урожайности: пшеница – 2250/450 = 5 ц/га; ячмень – 2250/321,4 = 7ц/га.

2)рассчитываем х_ср по пшенице и по ячменю;

3) рассчитываем дисперсию σ² и стандартное отклонение σ

4) рассчитываем нормированное число z, где по пшенице х_i =5 ц/га;

по ячменю х_i = 7 ц/га.

5)рассчитываем по таблице нормального распределения вероятностей f(z)

Ответ: сравниваем вероятности прибыльного производства пшеницы и ячменя.

Задача № 5. Провести расчеты вероятности рентабельности по парам проектов?

Показатели
NPV				-200
NPV	-400
Годовая прибыль					-8
Годовая прибыль		-2	-1
Доходность, %			-4	-1
Доходность, %		-7

NPV и годовая прибыль в тысячах долларов

Дата добавления: 2014-01-07