Проекции прямой, перпендикулярной плоскости

При решении геометрических задач часто бывает необходимо строить перпендикуляры к плоскости. Это требует установления признаков, которые позволяли по чертежу судить о перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве и, наоборот, строить на чертеже прямые и плоскости, перпендикулярные друг другу в пространстве.

Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. В качестве этих двух пересекающихся прямых плоскости приходится использовать линии уровня плоскости, т.к. согласно теоремы о проецировании прямого угла, именно с этими прямыми сохраняется прямой угол на плоскостях проекциях. Условия перпендикулярности прямой и плоскости устанавливаются следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы прямая была бы перпендикулярна к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была бы перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Доказательство. Необходимость. Допустим, что прямая перпендикулярна к плоскости. Тогда она перпендикулярна к любым прямым этой плоскости, в том числе горизонталям и фронталям плоскости. Согласно теоремы о проецировании прямого угла, перпендикулярность прямой и горизонтали сохраняется на горизонтальной плоскости проекций, а перпендикулярность прямой и фронтали – на фронтальной плоскости проекций. Что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости. Тогда в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямая в пространстве будет перпендикулярна к горизонтали и фронтали плоскости. А это значит, что прямая и плоскость взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Установленные теоремой признаки позволяют строить на комплексном чертеже прямые, перпендикулярные к плоскости.

Рассмотрим примеры.

1. В точке А восстановить перпендикуляр m к плоскости Σ(ΔАВС).

Сначала через вершину А плоскости Σ проведём горизонталь h и фронталь f (рис.5.8). Горизонтальную проекцию искомого перпендикуляра n₁ необходимо провести перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальную проекцию перпендикуляра n₂ – перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали плоскости.

2. Через точку А провести плоскость, перпеникулярную прямой m.

Искомую плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью, каждая из которых должна быть перпендикулярна к прямой m (рис.5.9). Поэтому горизонтальная проекция горизонтали h₁ должна проходить через горизонтальную проекцию А₁ точки А перпендикулярно горизонтальной проекции прямой m₁. Фронтальная проекция горизонтали h₂ проходит через фронтальную проекцию А₂ точки А, параллельно оси x₁₂. У фронтали наоборот – фронтальная проекции f₂, проходящая через фронтальную проекцию А₂ точки А, перпендикулярна фронтальной проекции прямой m₂, а горизонтальная проекции f₁ проходит через точку А₁ параллельно оси x₁₂.

Рис.5.8

Рис.5.9.

Дата добавления: 2014-01-07