Изображение многогранников на комплексном чертеже

Классификация многогранников

Тема 8. Многогранники

1. Классификация многогранников.

2. Изображение многогранников на комплексном чертеже.

Литература: § 39, 40 [1]

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Элементами многогранника являются вершины, ребра и грани. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Правильным называется многогранник, грани которого являются правильным многоугольником. Всего существует пять правильных выпуклых многогранников, которые первым исследовал и описал Платон, живший в V – IV веках до н.э. Поэтому эти многогранники называют также «Платоновы тела».

1. Тетраэдр (четырехгранник – правильная треугольная пирамида) – 4 вершины, 4 грани – треугольники.

2. Гексаэдр (шестигранник – куб) – 8 вершин, 6 граней – квадратов.

3. Октаэдр (восьмигранник) – 6 вершин, 8 граней – треугольников.

4. Икосаэдр (двадцатигранник) – 12 вершин, 20 граней – треугольников.

5. Додекаэдр (двенадцатигранник) – 20 вершин, 12 граней – пятиугольников.

Формула Эйлера для правильного многогранника:

В + Г – Р =2

где В – число вершин многогранника,

Г – число граней многогранника,

Р – число ребер многогранника.

Из всего многообразия выпуклых многогранников наибольший практический интерес представляют:

1) призмы – многогранники, у которых боковые ребра параллельны друг другу, а боковыми гранями являются параллелограммы;

2) пирамиды – многогранники, у которых боковые ребра пересекаются в одной точке – вершине;

3) призматоиды – многогранники, ограниченные какими-либо двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях и называемыми основаниями, и треугольниками или трапециями, вершинами которых служат вершины оснований (рис.8.1).

Рис.8.1. Призматоид

На комплексном чертеже многогранник изображается проекциями своих вершин и ребер. При этом невидимые ребра изображают штриховыми линиями. Для однозначного восприятия чертежа многогранника рекомендуется проекции вершин обозначать буквами.

Рассмотрим пример. Построить комплексный чертёж пирамиды ABCD, заданной своими вершинами (рис.8.2).

Рис.8.2. Комплексный чертёж пирамиды

Сначала проводим сплошными основными линиями очерковые ребра пирамиды AB, BC, CD и AD на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций. Эти ребра друг друга не перекрывают. Затем соединяем сплошными тонкими линиями рёбра AC и BD, которые являются скрещивающимися прямыми и перекрывают друг друга.

Для определения видимости ребёр AC и BD на фронтальной плоскости проекций воспользуемся фронтально конкурирующими точками 1 и 2. Построив горизонтальные проекции этих точек, можно определить, что на П₂ видимой будет точка 1, т.к. её глубина больше (она ближе к наблюдателю). Поэтому на плоскости П₂ ребро BD, на котором лежит точка 1, будет видимым и его нужно обвести сплошной основной линией. Невидимую фронтальную проекцию А₂D₂ ребра AD обводим штриховой линией.

Для определения видимости ребёр AC и BD на горизонтальной плоскости проекций воспользуемся горизонтально конкурирующими точками 3 и 4. Построив фронтальные проекции этих точек, можно определить, что на П₁ видимой будет точка 3, т.к. её высота больше (она ближе к наблюдателю). Поэтому на плоскости П₁ ребро BD, на котором лежит точка 3, будет видимым и его нужно обвести сплошной основной линией. Невидимую горизонтальную проекцию А₁D₁ ребра AD обводим штриховой линией.

Дата добавления: 2014-01-07