Способы образования поверхностей

Понятие о поверхности

Тема 9. Поверхности

1. Понятие о поверхности.

2. Способы образования поверхностей.

3. Способы задания поверхностей.

4. Классификация поверхностей.

Литература: §§ 22…31 [1]

Поверхности являются самым сложным геометрическим объектом, изучаемым начертательной геометрией и инженерной графикой. Мир поверхностей безграничен. Он простирается от простейшей плоскости до причудливых поверхностей, используемых в архитектуре и скульптуре, от элементарного цилиндра до сложнейших по форме деталей авиадвигателя и т.п. Все, что нас окружает дома, машины, люди и т.д. – принадлежит к миру поверхностей. Поверхности в нашей жизни играют очень важную роль, особенно для инженера-конструк­тора, который должен знать и уметь, как сконструировать поверхность, чтобы она отвечала заранее заданным требованиям. А эта задача весьма трудоемка и часто бывает нелегко найти правильное решение. Рассмотрим некоторые общие вопросы образования и задания поверхностей, которые необходимо знать проектировщику при решении практических задач.

Определение поверхности. В математике под поверхностью понимается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением вида F(x,y,z)=0, где F(х,у,z) – многочлен n-й степени или трансцендентная функция.

Начертательная геометрия изучает геометрические фигуры, заданные графически. Поэтому поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Если принять, что положение движущейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением, например, времени, и принять время за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свое очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек. С учетом этого можно дать следующее определение поверхности: поверхностью называется непрерывное двухпараметрическое множество точек.

Существует два наиболее распространенных способа образования поверхностей: 1) при помощи движущейся линии; 2) при помощи движущейся поверхности. Рассмотрим указанные способы.

1. Пусть некоторая линия s (называемая образующей поверхности) непрерывно перемещается в пространстве, занимая последовательно положения s₁, s₂,..., s_i,..., s_n (рис.9.1). При движении линия может быть неизменной или непрерывно менять свою форму. Каждая точка A_j, принадлежащая линии s, при своем перемещении опишет некоторую траекторию t_j. Линии t, называются направляющими, так как их можно рассматривать как линии, по которым перемещается образующая s. Совокупность линий s_i и t_j образует каркас поверхности или сеть. Данный способ образования поверхностей называется кинематическим и является основным в начертательной геометрии. Он широко используется в технике. Например, так происходит формообразование поверхностей при обработке деталей на металлорежущих станках с линейным контактом режущего инструмента (резца, фрезы и т.п.) и заготовки. В этом случае поверхность детали несет на себе «отпечаток» профиля инструмента. Поверхности, образованные таким способом, называются кинематическими.

Рис.9.1

2. В этом случае некоторая поверхность F (называемая производящей поверхностью) перемещается в пространстве, занимая ряд последовательных положений F₁, F₂, …, F_n. Совокупность всех положений поверхности F определяет некоторую новую поверхность Φ, являющуюся огибающей этих поверхностей. Огибающая поверхность может касаться производящей поверхности по некоторой линии (например, ковш обычного или роторного экскаватора при рытье траншей, каналов, проходке тоннелей) или в точке (обработка некоторой выпуклой поверхности торцом сферической или пальцевой фрезы).

Кроме этих двух наиболее распространенных способов образования поверхностей в научных исследованиях по начертательной и прикладной геометрии применяются еще некоторые другие способы, такие, например, как способ конкурирующих поверхностей, способ мгновенных преобразований.

Суть способа конкурирующих поверхностей заключается в следующем. Пусть в пространстве заданы две конкурирующие поверхности, проекции которых на одну из плоскостей проекций совпадают всеми своими точками. Тогда две оставшиеся не совпавшие проекции (по одной от каждой поверхности) определяют новую поверхность. Этот способ является обобщением так называемых «ключевых» способов образования поверхности, когда искомая поверхность конструируется графически без применения аналитических расчетов.

Способ мгновенных преобразований, в отличие от предыдущего способа, является аналитическим. Он связан с заданием в пространстве некоторого преобразования Т, определяемого уравнениями:

х'=f₁(x,y,z,t)

у'=f₂(x,y,z,t)

z'= f₃ (х,у,z,t),

где t - переменный параметр.

Придавая параметру различные непрерывные значения, можно получить непрерывное множество преобразований T₁, T₂,..., T_j, зависящих от параметра t. Каждое отдельно взятое преобразование T_j, соответствующее значению параметра t_j, называется мгновенным преобразованием. Такое однопараметрическое множество размножает точку пространства в линию, линию пространства в поверхность, поэтому способ применяется для образования поверхностей. Совокупность аналитического выражения исходной образующей линии (если она задана математически) и преобразований дает уравнение непрерывного каркаса сконструированной поверхности (о каркасе поверхности более подробно ниже).

Дата добавления: 2014-01-07