Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Предположим, что система функционирует с отказами и имеет в своем распоряжении n каналов (рис. 2).

Рис. 2. Многоканальная система массового обслуживания с отказами, имеющая n каналов, где К — число занятых каналов

Из графа состояний (рис. 2) видно, что перевод системы слева направо осуществляется с плотностью , что обуславливается ординарностью потока заявок. Обратный перевод системы справа налево осуществляется с суммируемой плотностью (суммируются потоки от всех занятых каналов).

Применяя мнемоническое правило: «что вытекает, то и втекает», получаем (табл. 1).

Если : ; ; .

Если: :

; .

Итак: ; ; .

Если : ;

.

Итак: ; .

Аналогично для К =3,4 и т.д.

Применяя метод математической индукции, можно составить таблицу для приведенного правила "Что вытекает, то и втекает" и написать выражения для определения ве­роятностей состояний системы для К = 1,2,3,... (табл. 1).

Таблица 1. Вероятности состояний многоканальной системы массового обслуживания, функционирующей с отказами

Число занятых каналов «К»	Приведенное правило: «что вытекает, то и втекает»	Вероятности состояний для многоканальной системы с отказами
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
n-1

Сумма вероятностей всех состояний должна быть равна единице, поэтому

, откуда

Пример. Исследуется работа пункт технического обслуживания машин (ПТОМ), имеющая в своем распоряжении четыре подъемника (n = 4). Станция работает с отказами 10 часов в сутки. Статистическими наблюдениями установлено, что на станцию поступает простейший поток заявок с то плотностью = 3 заявки в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и в среднем составляет М_tобсл. =2 часа на машину. Требуется найти количественные (числовые) характеристики эффективности функционирования станции.

Решение. 1. Составляем граф состояний системы (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами (n = 4), где К - число занятых каналов

2. Определяем плотность потока обслуживания одним каналом

автомобиля в час.

3. Определяем приведенную плотность потока заявок, т.е. загрузку системы

4. Определяем вероятность того, что система будет в состоянии X_o, т.е. среднюю долю полного простоя станции

Это значит, что 0,87 % времени станция в среднем будет простаивать.

5. Определяем вероятности других состояний системы

;

;

;

.

Убеждаемся, что расчет выполнен правильно:

0,00869+ 0,0521+ 0,1565+ 0,313+ 0,4695= 1,0.

6. Определяем вероятность отказа системы. Она равна

7. Вычисляем относительную пропускную способность станции

.

Это значит, что 47 % машин получает отказ и 53% машин будут обслужены.

8. Вычисляем абсолютную пропускную способность станции (один из основных критериев эффективности функционирования системы).

За один час;

машина.

За десять часов:

машин.

9. Определяем номинальную, т.е. максимально — возможную пропускную способность станции

машин.

10. Определяем математическое ожидание числа занятых каналов

каналов.

Дата добавления: 2014-01-07