Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать A×X = B. Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B, т.к. А^-1×А = Е, то Е×Х = А^-1×В, Х = А^-1×В. Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример 3.3. Решить систему уравнений

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ = = -5; M₂₁ = = 1; M₃₁ = = -1; M₁₂ = M₂₂ = M₃₂ = M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ =

A^-1 = ;

Cделаем проверку того, что .

=E.

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = ×= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Дата добавления: 2014-01-07