Ранг матрицы

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Напомним, система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение 4.1. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение 4.2. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение 4.3. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы.

Определение 4.4. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Напомним, что к элементарным преобразованиям относятся:

1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2) Перестановка уравнений местами.

3) Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение 4.5. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение 4.6. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А. Или, рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, порождённого данной матрицей.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение 4.7. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эквивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример 4.3. Определить ранг матрицы.

~ ~, RgA = 2.

Пример 4.4. Определить ранг матрицы.

~ ~ ~, Rg = 2.

Пример 4.5. Определить ранг матрицы.

~, Þ Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Теорема Кронекера – Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик). (условие совместности системы). Система (6) совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

Очевидно, что система (6) может быть записана в виде:

x₁+ x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример 4.6. Исследовать на совместность СЛАУ .

Значит, система несовместна.

Пример 4.7. Определить совместность системы линейных уравнений.

A =

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример 4.8. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Ответ. x₁ = 1; x₂ =1/2.

РАЗДЕЛ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

Дата добавления: 2014-01-07