Метод переменного коэффициента усиления

Одгим и современных методов синтеза цифровых систем управления является метод переменного коэффициента усиления. Структурная схема цифровой системы автоматического управления (ЦСАУ) по методу переменного коэффициента усиления имеет вид:

Рис. 3.40.

На структурной схеме представлены: объект управления (), импульсный элемент (ключ), цифровой регулятор (), фиксатор (экстраполятор нулевого порядка). При реализации данной схемы функции импульсного элемента, цифрового регулятора и фиксатора выполняются средствами вычислительной техники. Данная ЦСАУ относится к системам стабилизации, в которых управляемая переменная x₁(t) с течением времени стабилизируется на уровне задающего воздействия r(t). Суть синтеза ЦСАУ сводится к расчету цифрового регулятора , обеспечивающего максимальное быстродействие , где - порядок объекта, без перерегулирования (). Цифровой регулятор имеет вид:

, (3.75)

где - - управляющая последовательность (выход регулятора):

- - ошибка регулирования.

Из (75) видно, что звено - представляет собой усилительное звено, с переменным коэффициентом усиления , отсюда и название метода – метод переменного коэффициента усиления.

Основой для синтеза является передаточная функция Объекта управления () или структурная схема объекта управления. По исходным данным строится схема переменных состояния любым способом и составляются основные уравнения, описывающие поведение системы.

Начальным условием для синтеза является описание объекта либо передаточной функцией, либо структурной схемой. Далее строится схема переменных состояний цифровой системы управления любым методом.

Поведение системы описывается как:

· В момент замыкания ключей система описывается уравнениями вида:

(3.76)

· В момент между замыканиями ключей система описывается уравнениями вида:

(3.77)

Обобщенный вектор может быть выбран в виде или .

I. Рассмотрим описание системы при обобщенном векторе

· В момент замыкания ключей система описывается уравнениями вида:

(3.78)

Матрица ключей определяется в следующем виде:

, (3.79)

· В момент между замыканиями ключей система описывается уравнениями вида:

(3.80)

Последнее уравнение преобразовать в ином виде (через матрицу перехода)

, (3.81)

II. Если обобщенный вектор выбран в виде , то данные уравнения имеют вид:

· В момент замыкания ключей:

, (3.82)

где - неизвестное значение коэффициента усиления, определяющее значение выходного сигнала цифрового регулятора на шаге , которое необходимо вычислить исходя из заданных показателей качества ().

Матрица ключей определяется в следующем виде:

, (3.83)

где I – единичная матрица.

· В момент между замыканиями ключей:

(3.84)

Последнее уравнение преобразовать в ином виде (через матрицу перехода)

, (3.85)

где матрица перехода имеет следующий вид:

, (3.86)

где Р – вектор (столбец размерностью n) определяет реакцию объекта на управляющую последовательность;

F - матрица перехода непосредственно объекта.(размерность матрица n*n).

Очевидно, что выбор предпочтителен, поскольку позволяет свести алгоритм синтеза до программируемого вида. Основные уравнения имеют вид:

(3.87)

Рассмотрим уравнения системы, описывающие поведение системы в течение интервала времени . В момент в соответствии с заданными показателями качества метода синтеза ЦСАУ методом переменного коэффициента усиления система должна прийти к установившемуся значению.

В момент времени поведение системы описывается следующей системой:

(3.88)

где - управляющее воздействие цифрового регулятора на интервале (значение - неизвестно, которое необходимо вычислить исходя из заданных показателей качества ().).

В момент времени поведение системы описывается следующей системой:

(3.89)

Для последующего интервала справедливо:

(3.90)

(3.91)

(3.92)

Исходя из заданных показателей качества в момент времени система приходит к установившемуся (желаемому) значению:

(3.93)

Желаемое значение определяется исходя из следующих соображений:

(входное значение постоянно)

(ЦСАУ – система стабилизации, то есть выходная переменная в установившемся режиме равна входной переменной ).

Остальные динамические переменные в установившемся значении являются величинами постоянными, поэтому они и значение определяются из уравнения:

(3.94)

Таким образом, значение обобщенного вектора состояния в момент времени определяется как:

(3.95)

Данное уравнение представляет собой систему линейных уравнений относительно неизвестных . Разрешив данную систему уравнений, определяется числитель передаточной функции , где

(3.96)

Далее определяется знаменатель передаточной функции следующим образом:

где р₁ – первый элемент вектора Р;

F₁ – первая строка матрицы F.

(3.97)

Таким образом, определена передаточная функция цифрового регулятора . (3.98)

Однако данная передаточная функция представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой являются бесконечными суммами, чтобы привести выражение к конечному значению числитель и знаменатель домножают на выражение

=

, (3.99)

Так как , то данное выражение приобретает вид:

(3.100)

Введя обозначения

, ,

, , ., передаточную функцию цифрового регулятора можно переписать:

(3.101)

Данная цифровая САУ обеспечивает заданные показатели качества () и имеет следующие переходные процессы:

Рис. 3.41.

Цифровой регулятор реализуется в виде разностного уравнения.

, (3.102)

которое получено следующим образом:

(3.103)

ПРИМЕР

Построить ЦСАУ методом переменного коэффициента усиления для объекта, представленного структурной схемой (Рис. 3.42.) (двигатель постоянного тока).

Рис. 3.42.

Параметры системы:

Схема переменных состояния цифровой системы представлена на Рис. 3.43.

Рис. 3.43.

Обобщенный вектор переменных состояния:

Начальные условия:

Данная система описывается следующими системами уравнений:

Выбираем ÷

Рассчитаем матрицу перехода:

Выделим матрицы

Время переходного процесса определяется как:

Система уравнений, определяющих неизвестные управляющие последовательности, имеет вид:

(3.104)

Определим

Тогда система (104) имеет вид:

Решение данной системы уравнений

Управляющая последовательность имеет вид:

Определим ошибку управления

Таким образом, цифровой регулятор имеет передаточную функцию:

,

где

Дата добавления: 2014-01-07