Теоремы сложения вероятностей

Вероятность случайного события.

Вероятность случайного события (обозначается Р(А)) –это число, которое говорит нам о степени возможности наступления события.

Существуют два определения вероятности: классическое и статистическое, каждое из них имеет свои достоинства и недостатки.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события – это отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию (m), к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов данного опыта (n).

Если А – случайное событие, то

Если А – достоверное событие, то

Если А – невозможное событие, то

Пример: при бросании кубика возможно 6 исходов

Событие А: выпадет четное число. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3.

Достоинства: можно вычислить вероятность не производя испытания.

Недостатки: 1) не всегда известно число исходов опыта,

2) часто невозможно представить результат испытаний в виде равновозможных и несовместных событий.

Поэтому на практике часто пользуются статистическим определением вероятности.

Статистическое определение вероятности.

Пусть А – случайное событие, опыт проводился n раз, в результате опыта событие А произошло m раз, тогда m - частота наступления события А, а величина называется относительной частотой события А.

Для разных n, могут заметно отличаться, но если проводим длинную серию опытов, т.е., то к некоторому пределу.

Статистической вероятностью события А называется предел, к которому стремится его относительная частота, при неограниченном увеличении числа испытаний.

Пример: среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков., тем не менее, известно, что

Так как вероятность – это число следовательно, с этими числами можно производить арифметические действия.

Суммой двух событий А+В называется событие, которое состоит в том, что произойдёт или событие А или событие В или оба они одновременно.

Суммой нескольких событий (А₁+А₂+А₃+…..+Аn) называется событие, которое состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из этих событий.

Теорема 1: Вероятность двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема 2: Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1: Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна 1:

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Теорема 3: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность совместного их появления:

Пример: Бросаем 2 кубика: А – выпадет чётное число на первом кубике

В -- выпадет чётное число на втором кубике

(А+В) – выпадет чётное число на первом или втором кубике или на первом и втором одновременно:

Дата добавления: 2014-01-07