Предел функции

Пусть функция определена в окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки . Точка может быть и бесконечно удалённой.

Определение 1 (Гейне). Число называется пределом функции в точке = , если для любой сходящейся к последовательности аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пишут = , или ® при .

Если предел функции существует, то он единственный. Это следует из единственности предела последовательности.

Пример 1. Найти .

Решение. Пусть предел существует. Выберем две последовательности аргумента, сходящиеся к нулю:

= и = . Соответствующие последовательности значений функции следующие:

= =

= = 0, = = = 1,

т.е. обе последовательности являются постоянными. Поскольку пределом постоянной является сама постоянная (см. §2), то в точке = 0 мы получим два предела функции 0 и 1, чего не может быть. Следовательно наше предположение о существовании предела в точке = 0 не верно. Данная функция не имеет предела в нуле.

Определение 2 (Коши). Число называется пределом функции в точке = , если для любого > 0 существует число > 0 такое, что для всех Î O(,) имеет место неравенство < . ("> 0 $ O (,) Î O(,) Þ Î O (,)).

Пример 2. Доказать, что = 1.

Решение. По определению Коши < , если = < . Если найдем для любого > 0 такое, что из второго неравенства будет следовать первое, то задача будет решена.

= 1 – = £ 2 × < Þ < .

Положим = , тогда для всех < выполняется неравенство < и задача решена.

Упражнение. Доказать, что = 0.

Замечание. Выше приведено два определения предела функции, однако определение должно быть единственным. Поэтому, если за определение взять формулировку Гейне, то формулировка Коши будет теоремой, и её можно доказать. И наоборот.

Определение 3. Функция называется бесконечно большой в точке = , если существует такая -окрестность этой точки, что для " Î O (,) > M, где М > 0 – любое действительное число. Точка может быть и бесконечно удалённой. ($ M > 0 $ > 0 (Î O (,) Þ > M).

Если ® , оставаясь меньше , то предел функции в точке называется левым. Пишут = . Если ® , оставаясь больше , то предел называют правым. Пишут = . Правый и левый пределы называют односторонними пределами. Если ¹ , то функция в точке = предела не имеет, а имеет только односторонние пределы. Если = , то функция имеет в точке предел. И наоборот, если функция имеет предел в точке = , то она имеет равные между собой левый и правый пределы.

Дата добавления: 2014-01-07