Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Характеристическая функция




 

Комплекснозначной случайной величиной называют функцию ξ1(ω)+iξ2(ω), где ωÎW, (ξ1, ξ2) – случайный вектор.

Например, – комплекснозначная случайная величина. По определению положим

(1)

Определение. Характеристической функцией φξ(t) случайной величины ξ называется математическое ожидание комплекснозначной случайной величины , т.е.

(2)

Если f(x) - плотность распределения случайной величины ξ, то согласно определению

(3)

Характеристическая функция определена для всех tÎ(-∞,∞) и удовлетворяет условию Действительно,

Из (3) видно, что характеристическая функция есть прямое преобразование Фурье плотности f(x). Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, получим в точках непрерывности плотности (см. §5 гл. 3).

. (4)

Из (4) следует, что если характеристические функции двух случайных величин совпадают, то совпадают и их плотности (законы) распределения. Точнее, они могут отличаться, но на множестве точек меры нуль.

Рассмотрим некоторые свойства характеристической функции.

1. Если η = aξ + b, то Действительно, Свойство доказано.

2. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций, т.е.

Действительно,

.

Воспользовались теоремой о математическом ожидании от произведения независимых случайных величин (см. §20).

3. Если абсолютный начальный момент n-го порядка существует, т.е. то характеристическая функция φξ(t) дифференцируема n раз, причем

, k = 0,1,…,n. (5)

Доказательство. Продифференцируем (3) k раз по t и убедимся, что полученный интеграл сходится.

. (6)

по условию.

Следовательно, дифференцирование законно. Из (6) при t=0 получим (5). Свойство доказано.

Разложим φξ(t) в ряд Тейлора в окрестности точки t=0, ограничившись тремя членами разложения

. Согласно (5) φ(0)=1, φ/(0)= iα1 = imξ, φ//(0)= i2α2 = -(Dξ+mξ2). Итак,

(7)

Рассмотрим случайную величину ξ с математическим ожиданием mξ=и дисперсией Dξ2. Случайная величина

ξ* = (ξ–)/σ (8)

называется нормированной. Легко проверить, что M[ξ*]=0, D[ξ*]=1. Пусть ξ* распределена по стандартному нормальному закону, тогда ее плотность распределения Найдем ее характеристическую функцию. Согласно (3)

=

= =

= .

Мы воспользовались тем, что. Итак,

(9)

Из (8) найдем ξ=σξ*+. По свойству (1) и с учетом (9) получим характеристическую функцию случайной величины ξ.

(10)

Докажем, что (10) есть характеристическая функция нормального распределения N(,σ). Действительно, по формуле (4)

.

Итак, . (11)

Формула (11) доказывает наше утверждение. Таким образом, если случайная величина ξ распределена по нормальному закону N(,σ), то нормированная величина ξ* распределена по стандартному нормальному закону N(0,1).

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 405; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.