КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Доверительный интервал. Точечная оценка α* некоторой числовой характеристики α, как уже отмечалось, является случайной величиной
Точечная оценка α* некоторой числовой характеристики α, как уже отмечалось, является случайной величиной. Ясно, что замена точного (но неизвестного) значения α на оценку α* может привести в некоторых случаях к серьезным ошибкам. Поэтому необходимо определить точность (надежность) оценки α*. Для определения надежности оценки пользуются доверительной вероятностью и доверительным интервалом. Зададим некоторую достаточно большую вероятность β, например, β=0,9, β=0,95, β=0,99 и найдем такое значение ε>0, для которого выполняется неравенство . (1) Равенство (1) можно переписать в виде . (1¢) Равенство (1/) означает, что точное, но неизвестное α накрывается интервалом с вероятностью β. Интервал называется доверительным, а вероятность β доверительной вероятностью или надежностью. Найдем доверительный интервал для математического ожидания mξ, если за его оценку взято среднее арифметическое n независимых измерений, т.е. . Пусть M[xi]=, D[xi]=σ2. Тогда Предположим, что измерения xi распределены нормально N(,σ). Тогда их характеристическая функция (см. (10) §24). Согласно свойствам (1) – (2) §24 характеристической функцией случайной величины будет . (2) Из (2) видно, что распределена по нормальному закону N(,σ). Тогда согласно (1) . Из последнего уравнения найдем: . (3) Здесь Ф-1(х) - функция, обратная интегралу вероятностей. Итак, если средняя квадратичная ошибка измерений σ известна, то по формуле (3) найдем ε и, следовательно, найдем доверительный интервал . Замечание. Ели независимые измерения xi распределены по закону, отличному от нормального, то, согласно центральной предельной теореме, сумма при больших n распределена по нормальному закону. Поэтому и в этом случае можно пользоваться формулой (3). Если σ неизвестна, то формулой (3) пользоваться нельзя. В этом случае поступим следующим образом. Рассмотрим случайную величину , (4) где - оценка дисперсии. Доказано, что если xi распределены нормально, то случайная величина τ распределена по закону Стьюдента с n-1 степенью свободы. Ее плотность распределения дается формулой . (5) Зная закон распределения τ, можно найти доверительный интервал для математического ожидания. Из (1) получим , где , а τ определяется формулой (4). Т.к. распределение Стьюдента симметричное, то . (6) Из равенства (6) найдем tβ, а поскольку , то и доверительный интервал lβ, будет известен: Величину tβ находят по специальным таблицам или вычисляют на ЭВМ. Пример 1. Найти доверительный интервал для величины заряда электрона по данным Милликена, если β=0,99 (см. §11). Решение. Будем считать, что ошибки измерений, следовательно, и сами измерения xi распределены нормально. Т.к. σ неизвестна, то воспользуемся формулой (6) . По таблице найдем tβ=2,665. Тогда . (см. §11) Т.к. , то доверительный интервал будет . Найдем теперь доверительный интервал для дисперсии, если независимые измерения распределены нормально, а в качестве оценки дисперсии взята величина . (7) Преобразуем (7) следующим образом . (8)
где β – доверительная вероятность. Т.к. кривая распределения не симметричная, то в уравнении (9) два неизвестных: x1 и x2. Поэтому наложим дополнительное условие, а именно, потребуем равенства . (10) Поскольку (см. рис. 24), то из (9) и (10) следует , . (11) Из уравнений (11) найдем неизвестные x1 и x2. Т.к. , то или . (12) Из (12) следует искомый доверительный интервал для дисперсии . (13) Пример 2. Найти доверительный интервал для дисперсии измерений заряда электрона (см. §11). Решение. По таблице распределения хи-квадрат при n=58, β=0,99 найдем x1=33,21 и x2=88,18. Согласно (13) . Средняя квадратичная ошибка σ измерений с вероятностью β=0,99 лежит в интервале .
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 380; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |