Комплексная степень комплексного числа

Гиперболические функции, их связь с тригономнтрическими функциями.

chz= (e^z+e^-z)/2, shz= (e^z-e^-z)/2, thz= shz/chz, cthz= chz/shz.

1) Верны известные свойства:

ch²z- sh²z= 1, ch²z+ sh²z= ch2z, 2shzchz=sh2z, ch(z₁+z₂)= chz₁chz₂+ shz₁shz₂, sh(z₁+z₂)= shz₁ch₂+ chz₂shz₁

2) Из периодичности экспоненты e^z (T=2pi) следует, что chz, shz имеют тот же период T=2pi, thz и cthz имеют преиод T=pi.

3) из e^zÞ(Незнаю! У Минора написано - самостоятельно)

4) Сравнивая определения cosz и chz, sinz и shz, видим: chiz= cosz, shiz/i= sinz.

Логарифм. w= Lnz – функция, обратная для z=e^w. Найдём w=u+ iv, если z=re^ij, где j= a rgz. [e^w=z]Þ [e^u+iv= re^ij]Þ [e^ue^iv= re^ij]Þ [e^u= r & v=j+2kp]Þ [u=lnr, v=j+2kp]Þ Lnz= ln|z|+ i(argz+2kp)= ln|z|+ iArgz.

1) Ln0 не определён (т.к. ln0 и arg0 не определены).

2) w=Lnz – бесконечнозначная функция (из-за 2kpi). Главным значением логарифма называется значение l nz= ln|z|+ iargz, это – однозначная функция. Общий логарифм Lnz= lnz+2kpi.

3) Верны обычные правила логарифмирования: Ln(z₁z₂)= Lnz₁+ Lnz₂, Ln(z₁/z₂)= Lnz₁- Lnz₂, Lnzⁿ= nLnz, LnⁿÖ(z)= (1/n)×Lnz (nÎN) (равенства с точностью до 2kpi). При z=xÎR, x>0, главный логарифм совпадает с обычным логарифмом числа x: lnz= ln|z|+ iargz= |z=x, argx=0|= ln|x|= lnx.

Для положительных чисел a,b известно равенство: a^b= |a= e^lna|= e^blna= exp(blna). Выражение e^bLna= exp(bLna) имеет смысл для любых компл. чисел a¹0 и b, и его принимают за комплексныю степень b комплексного числа a¹0: a^b= e^bLna= exp(bLna). w=z^a= e^aLnz – общая степенная функция (z¹0). w=a^z= e^zLna – общая показательная функция (а¹0).

4.1. Производная функции комплексного переменного.

Определение 1. [однозначная функция комплексного переменного w=f(z) дифференцируема в точке z₀ (f(z)ÎD{z₀})] Û [приращение Dw представимо в виде Dw =k×Dz+g(Dz)×Dz, где k =a+ib =const, lim(при Dz®0)g(Dz) =0]. Как и для функции одного действительного переменного, можно доказать, что [f(z)ÎD{z₀}] Û [сущ-ет конечная производная f `(z<sub>0</sub>) =lim(при Dz®0)Dw/Dz], причем оказывается, что k=f `(z₀). Можно доказать также, что f(z)ÎD{z₀} Þ f(z)ÎC{z₀}.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексной переменной. [w=f(z) =u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z₀ =x₀+iy₀] Û [1) u(x,y), v(x,y)ÎD{(x₀, y₀)}, 2)ðu/ðx(x₀, y₀) =ðv/ðy(x₀, y₀); ðu/ðy(x₀, y₀) =-ðv/ðx(x₀, y₀) (условия Коши-Римана)]

 Þ [w=f(z)ÎD{z₀}] Þ|определение 1| Þ[Dw =kDz+g(Dz)Dz, где k =a+ib=const, g(Dz) =d(Dx, Dy)+ie(Dx, Dy)®0 при Dz®0 Û (Dx, Dy)®(0, 0)] Þ [Dw =Du+iDv =(a+ib)(Dx+iDy)+(d+ie)(Dx+iDy) =(aDx-bDy+dDx-eDy)+i(bDx+aDy+eDx+dDy)] Þ [Du =aDx-bDy+dDx-eDy, где a=A₁, b=B₁, d=a₁, e=b₁; Dv =bDx+aDy+eDx+dDy, где b=A₂, a=B₂, e=a₂, d=b₂; где A_j, B_j =const, a_j(Dx, Dy), b_j(Dx, Dy)®0 при (Dx, Dy)®(0, 0)] Þ [по определению дифференцируемости двух переменных: u(x, y),

v(x, y)ÎD{(x₀, y₀)}, причем a =ðu/ðx, -b =ðu/ðy, b =ðv/ðx, a =ðv/ðy] Þ [1) u(x, y), v(x, y)ÎD{(x₀, y₀)}, 2) ðu/ðx =ðv/ðy, ðu/ðy =-ðv/ðx].

Ü [1) u,vÎD{(x₀, y₀)}, 2) ðu/ðx =ðv/ðy, ðu/ðy =-ðv/ðx] Þ [1) Du =A₁Dx+B₁Dy+a₁×Dx+b₁×Dy, Dv =A₂Dx+B₂Dy+a₂×Dx+b₂×Dy, где A₁ =ðu/ðx, B₁ =ðu/ðy, A₂ =ðv/ðx, B₂ =ðv/ðy; a_j(Dx, Dy), b_j(Dx, Dy)®0 при (Dx, Dy)®(0,0); 2) A₁ =B₂ (обозначим а), A₂ =-B₁ (обозначим b)] Þ [Du =aDx-bDy+a₁Dx+b₁Dy, iDv =ibDx+iaDy+ia₂Dx+ib₂Dy] Þ [Dw =Du+iDv =

=(a+bi)Dx+(-b+ia)Dy+(a₁+ia₂)Dx+(b₁+ib₂)Dy =(a+ib)Dx+i(a+ib)Dy+Dz[(a₁+ia₂)Dx/Dz+(b₁+ib₂)Dy/Dz] = =(a+bi)(Dx+iDy)+g(Dz)×Dz] Þ [Dw =kDz+g(Dz)Dz, где k =a+ib =const, g(Dz)®0 при Dz®0. Действительно, Dz®0 Þ (Dx, Dy)®(0,0) Þ a_j, b_j®0 Þ a₁+ia₂, b₁+ib₂®0; кроме того, |Dx/Dz|£1, |Dy/Dz|£1 (т.к. |Dx|£|Dz|, |Dy|£|Dz|). Значит, g(Dz) есть сумма произведений бесконечно малых функций на ограниченные и потому g(Dz)®0] Þ |по определению 1| Þ [f(z)ÎD{z₀}] g

Из т-мы получаются и формулы для вычисления производной f `(z) по действительной и мнимой частям функции f(z) =u+iv: f `(z) =k =a+ib =|a=A₁=B₂=ðu/ðx=ðv/ðy, b=A₂=-B₁=ðv/ðx=-ðu/ðy| =ðu/ðx+iðv/ðx =ðu/ðx-iðu/ðy =ðv/ðy+iðv/ðx =ðv/ðy-iðu/ðy (1). (f `(z) =u`_x+iv`<sub>x</sub> формально получается как (u+iv)`_x). Правила дифференцирования для w=f(z) те же, что и для функции одного действительного переменного (т.к. эти правила получаются из теории пределов, которая сохраняется). Сохраняется и таблица производных. Например, (e^z)` =(e<sup>x</sup>cosy+ie<sup>x</sup>siny)`_x =e^xcosy+ie^xsiny =e^x(cosy+isiny) =e^z; (cosz)` =[1/2×(e<sup>iz</sup>+e<sup>-iz</sup>)]` =1/2×[(e^iz)`+(e<sup>-iz</sup>)`] =1/2×(ie^iz-ie^-iz) =i/2×(e^iz-e^-iz) =i²/(2i)×(e^iz-e^-iz) =-1/(2i)×(e^iz-e^-iz) =-sinz.

Определение 2. Если f(z) дифференцируема в точке z₀ и во всех точках некоторой ее окрестности, то она наз-ся аналитической в точке z₀ (голоморфной). Обозначение f(z)ÎH{z₀} (Holomorphos). Функция, аналитическая на всей плоскости (f(z)ÎH(C)) наз-ся целой функцией.

Пример. W =zRez =(x+iy)x =x²+ixy. u=x², v=xy Þ u`<sub>x</sub> =2x, u`_y =0, v`<sub>x</sub> =y, v`_y =x непрерывны на всей плоскости Þ |достаточное условие дифференцируемости| Þ 1) u=x², v=xy дифференцируемы на всей плоскости; 2) u`<sub>x</sub> =v`_y, u`<sub>y</sub> =-v`_x только в точке (x, y)=(0, 0). Значит, w=zRez дифференцируема только в одной точке z=0: f `(0) =(x<sup>2</sup>+ixy)`_x =2x+iy (в точке (x, y)=(0, 0)) =0+i×0 =0, f `(0)=0. Ни в одной точке функция не аналитическая (в окрестности точки z=0 нет дифференцируемости). Заметим, что выражение (x<sup>2</sup>+ixy)`_x =2x+iy можно формально записать и для точек (x, y)¹(0, 0). Однако это не будет производной f `(z), т.к. она не сущ-ет.

Дата добавления: 2014-01-07