Связь аналитических функций с гармоническими

Дальше будет показано, что если f(z) аналитична в области G, то она бесконечно дифференцируема в этой области. Значит, все f⁽ⁿ⁾(z)ÎC(G). По формулам (1) f `(z) выражается через все частные производные первого порядка функций

u(x,y) и v(x,y). Значит, f⁽ⁿ⁾(z) выражается через все частные производные n-го порядка от этих функций. В силу f⁽ⁿ⁾(z)ÎC(G) все эти частные производные должны быть непрерывными. Итак, если f(z)ÎH(G), то ее действительная и мнимая части u(x,y), v(x,y) имеют в области G непрерывные частные производные любого порядка. Для первых частных производных имеем: ðu/ðx =ðv/ðy, ðu/ðy =-ðv/ðx. Отсюда ð²u/ðx² =ð²v/(ðyðx), ð²u/ðy² =-ð²v/(ðxðy), но ð²v/(ðyðx), ð²v/(ðxðy)ÎC(G) Þ ð²v/(ðyðx) =ð²v/(ðxðy), поэтому ð²u/ðx²+ð²u/ðy² =0. Аналогично ð²v/ðx²+ð²v/ðy² =0

Определение. Функция j(x,y), имеющая в области G непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющая в этой области уравнению Лапласа: Dj =0 Û (ð²/ðx²+ð²/ðy²)j =0 Û ð²j/ðx²+ð²j/ðy² =0, наз-ся гармонической в области G.

Т.о., для функции f(z)=u+iv, аналитической в области G, действительная и мнимая части u(x,y) и v(x,y) явл-ся гармоническими функциями в области G. Они связаны условиями Коши-Римана, поэтому их называют сопряженными гармоническими функциями.

5.1. Интеграл от функции комплексного переменного.

Пусть на кривой g задана функция w=f(z).

Определение: Если при l=max{|Dz_k|}®0 сущ-ет конечный предел I =lim(при l®0)å(от k=1 до n)f(z_k)Dz_k, не зависящий от способа разбиения кривой g и выбора точек z_kÎ(дуге)z_k-1z_k, то он наз-ся интегралом от f(z) по кривой g: ò(по g)f(z)dz = =lim(при l®0)å(от k=1 до n)f(z_k)Dz_k. (криволинейный или контурный интеграл).

Т-ма о существовании и вычислении интеграла. [g ={z: z=z(t), tÎ[a, b]} кусочно гладкая, f(z) =u(x,y)+iv(x,y)ÎC(g)] Þ

[ò(по g)f(z)dz сущ-ет и выражаем через криволинейные интегралы 2-го рода от действительной и мнимой частей u и v по формуле ò(по g)f(z)dz =ò(по g)(udx-vdy) + i×ò(по g)(vdx+udy) (1) и через определенный интеграл от комплекснозначной функции действительного переменного по формуле ò(по g)f(z)dz =ò(от a до b)f(z(t))z`(t)dt (2)] (формально (1) можно получить, если в записи ò(по g)f(z)dz =ò(по g)(u+iv)(dx+idy) определить действительную и мнимую части, (2) формально получается подстановкой z=z(t)).

 å(от k=1 до n)f(z_k)Dz_k =|пусть z_k =x_k+ih_k, тогда f(z_k) =u(x_k,h_k)+iv(x_k,h_k)| =å[u(x_k,h_k)+iv(x_k,h_k)](Dx_k+iDy_k) =

=å(u(x_k,h_k)Dx_k-v(x_k,h_k)Dy_k) + i×å(v(x_k,h_k)Dx_k+u(x_k,h_k)Dy_k). Получились интегральные суммы для криволинейных интегралов 2-го рода ò(по g)u(x,y)dx - v(x,y)dy и ò(по g)v(x,y)dx+u(x,y)dy. Эти интегралы сущ-ют, т.к. g - кусочно-гладкая и u(x,y), v(x,y)ÎC(g), значит, при l =max{|Dz_k|}®0 получаем равенство (1). По способу вычисления криволинейного интеграла 2-го рода, имеем: ò(по g)(udx-vdy) + i×ò(по g)(vdx+udy) =|подстановка x=x(t), y=y(t) из уравнения z =z(t) =x(t)+iy(t)| =

=ò(от a до b)[u(x(t),y(t))x`(t)-v(...)y`(t)]dt+i×ò(от a до b)[v(...)x`(t)+u(...)y`(t)]dt =ò(от а до b)[(ux`-vy`)+i(vx`+uy`)]dt =

=ò(от а до b)[u(x(t),y(t))+iv(...)]×[x`(t)+iy`(t)]dt =ò(от а до b)f(z(t))z`(t)dt Þ (2) g

Благодаря равенству (1) на интеграл ò(по g)f(z)dz распространяются все св-ва криволинейных интегралов 2-го рода. Добавим св-во: ("zÎg)[|f(z)|£M] Þ [|ò(по g)f(z)dz|£M×длина g] (оценка модуля)

 |å(от k=1 до n)f(z_k)Dz_k| £å|f(z_k)|×|Dz_k| £M×å|Dz_k| £M×длина g. (å|Dz_k| - длина вписанной ломанной £длина g). При

l=max{|Dz_k|}®0 в пределе получаем требуемое неравенство. g

Пример 1: Для любых a, bÎC ò(от а до b)dz =b-a по любому пути g. Действительно, ò(от а до b)dz =ò(от а до b)1×dz =

=lim(при l®0)å1×Dz_k =lim[(z₁-z₀)+(z₂-z₁)+...+(z_n-z_n-1)] =lim(z_n-z₀] =b-a.

Пример 2: ò(по замкнутому |z-z₀|=R)dz/(z-z₀)ⁿ ={0, при nÎZ, n¹1; 2pi, при n=1. ò(по замкнутому |z-z₀|=R)dz/(z-z₀) =2pi. (независимо от радиуса R).

Для zÎg: |z-z₀|=R, Arg(z-z₀)=t, tÎ[0, 2p], так что z-z₀ =Re^it Þ z=z₀+Re^it. При n¹1: ò(по g) =|z=z₀+Re^it; dz=iRe^itdt| =

=ò(от 0 до 2p)iRe^itdt/(Rⁿe^int) =i/R^n-1×ò(от 0 до 2p)e^i(1-n)tdt =i/R^n-1×ò(от 0 до 2p)[cos(1-n)t+isin(1-n)t]dt =|1-n¹0| =

=i/R^n-1×[sin(1-n)t/(1-n) - i×cos(1-n)t/(1-n)] (от 0 до 2p) =0. При n=1: ò(по g) =ò(от 0 до 2p)iRe^itdt/(Re^it) =i×ò(от 0 до 2p)dt=2pi

Дата добавления: 2014-01-07