Т-ма об аналитичности интеграла с переменным верхним пределом

Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Интегральная т-ма Коши.

Т-ма Коши для односвязной области. Если функция f(z) аналитична в односвязной области G, то интеграл по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой gÌG равен нулю: ò(по g)f(z)dz =0 (т.е. интеграл ò(от z₁ до z₂)f(z)dz не зависит от формы кусочно-гладкого пути gÌG, соединяющего точки z₁, z₂ÎG).

 Для упрощения док-ва добавим условие: f `(z)ÎC(G) (т-ма верна и без этого условия). Тогда согласно формулам

f `(z) =ðu/ðx+i×ðv/ðx =... все частные производные ðu/ðx, ðv/ðx, ðu/ðy, ðv/ðyÎC(G). Кроме того f(z)=u+ivÎC(G) Þ u(x,y), v(x,y)ÎC(G). При этих условиях для интегралов ò(по g)udx-vdy и ò(по g)vdx+udy в равенстве (1) т-мы о сущ-ии и вычислении интеграла верна формула Грина: ò(по g)udx-vdy =òò(по D)(ðQ₁/ðx-ðP₁/ðy)dxdy =òò(по D)(-ðv/ðx-ðu/ðy)dxdy, ò(по g)vdx+udy =

=òò(по D)(ðQ₂/ðx-ðP₂/ðy)dxdy =òò(по D)(ðu/ðx-ðv/ðy)dxdy. Но f(z)ÎH(G) Þ ðu/ðy =-ðv/ðx, ðu/ðx =ðv/ðy Þ интегралы равны нулю. Т.о. ("gÌG)[ò(по g)f(z)dz =ò(по g)udx-vdy+i×ò(по g)vdx+udy =0] g

Т-ма Коши для многосвязной области. Если f(z) аналитична в многосвязной области и на ее границах, то интеграл по внешней границе равен сумме интегралов по внутренним границам (при одинаковом обходе границ).



Пусть при обходе внутренности всех границ остаются слева. Проведем разрезы A₁B₁,...,A_kB_k,...,A_nB_n. Получим односвязную область с одной границей Г=(A₁B₁)(-g₁)(B₁A₁)(A₁A₂)...(A_nB_n)(-g_n)(B_nA_n)(A_nmA₁). В этой области f(z) аналитична, и по предыдущей т-ме ò(по Г)f(z)dz=0. Но ò(по Г)=ò(по А₁В₁)+ò(по -g₁)+ò(по В₁А₁)+ò(по А₁А₂)+...+ò(по A_nB_n)+

+ò(по -g_n)+ò(по B_nA_n)+ò(по A_nmA₁) =ò(по -g₁)+...+ò(по -g_n)+ò(по g) Þ ò(по -g₁)+...+ò(по -g_n)+ò(по g)=0 Þ ò(по g) =

=ò(по g₁)+...+ò(по g_n) g

Cледствие: Если f(z) аналитична в двусвязной области G и на ее границах g и g₁, то ò(по g)f(z)dz =ò(по g₁)f(z)dz (при одинаковом обходе g и g₁).

Пусть в области G задана такая функция f(z), что ò(от z₀ до z)f(z)dz не зависит от выбора кусочно-гладкого пути gÌG, соединяющего любые точки z₀, zÎG (т.е. ò(по g)f(z)dz по любому замкнутому кусочно-гладкому пути gÌG равен нулю). Если точка z₀ закреплена, то получаем функцию от z: ò(от z₀ до z)f(z)dz =Ф(z). (1)

Если f(z)ÎC(G) и интеграл (1) не зависит от выбора кусочно-гладкого пути gÌG, соединяющего точки z₀, zÎG, то этот интеграл явл-ся аналитической функцией в области G, причем ("zÎG)[Ф`(z) =(ò(от z<sub>0</sub> до z)f(z)dz)`_z =f(z)], т.е. Ф(z) есть первообразная для f(z) в области G.

 Док-во, как и для функции одного действительного переменного. g

Если F(z) - первообразная для f(z) в области G, то и F(z)+C - тоже первообразная, т.к. (F(z)+C)` =F `(z)+0 =f(z). Покажем, что любые две первообразные F₁, F₂ отличаются на постоянную. Обозначим F₁(z)-F₂(z) =F(z) =U(x,y)+iV(x,y). Тогда

F `(z) =F<sub>1</sub>`(z)-F₂`(z) =f(z)-f(z) =0, а с другой стороны F `(z) =ðU/ðx+i×ðV/ðx =ðV/ðy-i×ðU/ðy. Значит, ðU/ðx=0, ðU/ðy=0 Þ Þ U не зависит ни от x, ни от y Þ U=C₁. ðV/ðx=0, ðV/ðy=0 Þ V=C₂, F(z) =C₁+iC₂ =C Þ F₁(z)-F₂(z) =C, ч.т.д. Т.о., мн-во всех первообразных (неопределенный интеграл) имеет вид: F(z)+C, где F(z) - любая конкретная первообразная, а С - произвольная постоянная. g

Дата добавления: 2014-01-07