Т-ма Коши о вычетах

Т-ма о связи между нулем и полюсом.

[z=a - нуль k-го порядка для g(z)]Û[z=a - полюс k-го порядка для f(z)=1/g(z)]

 Þ [т-ма о порядке нуля]Þ [g(z)=(z-a)^kj(z), где j(z)Î ÎH(O(a)), j(a)¹0]Þ [f(z)=1/g(z)=1/(z-a)^k×1/j(z), где y(z)=1/j(z) аналитична в некоторой окрестности О₁(а). Действительно, j(z)ÎC{a}, j(a)¹0, и по т-ме о сохранении знака будет j(z)¹0 в некоторой О₁(а), поэтому y(z)=1/j(z)ÎH(O₁(a)). Кроме того, y(a)¹0] Þ|определение 4|Þ[z=a - полюс k-го порядка для f(z)].

Ü Аналогично g

7.1. Определение и вычисление вычета.

Определение: Коэффициент C_-1 при 1-ой степени z-a ряда Лорана в окрестности точки z=a наз-ся вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z=a. C_-1=Res f(z) (в точке z=a). Из формулы для коэффициентов ряда Лорана имеем C_-1=

=1/(2pi)ò(по замкнутой g) f(z)dz/(z-a)^-1+1Þ Res f(z)(в точке z=a)=1/(2pi)ò(по g)f(z)dz (1)

(произведение 1/(2pi) на интеграл от функции по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой в окрестности точки z=a вокруг точки z=a). Если z=a - устранимая особая точка, то C_-1=0, т.е. Res f(z)=0. В других случаях, кроме формулы (1), вычет можно найти непосредственно из разложения в ряд Лорана. В случае, когда z=a - полюс k-го порядка, можно получить еще одну формулу для вычисления вычета: Res f(z)=1/(k-1)!×lim [f(z)(z-a)^k]^(k-1). В частности, если z=a - простой полюс (k=1), то Res f(z)=lim f(z)(z-a).

Пример: f(z)=cosz/(z-1)³, Res f(z) (в точке z=1) -?

f(z)=1/(z-1)³×cosz, где j(z)=coszÎH(O(1)), j(1)=cos1¹0 Þ |по определению полюса|Þ z=1 - полюс 3-го порядка.

Res f(z)=1/2!×lim [cosz/(z-1)³×(z-1)³]``=1/2×lim(-cosz)=-cos1/2.

Вычет в бесконечноудаленной точке.

Внешность круга |z|<R наз-ся окрестностью бесконечноудаленной точки: О(¥)={z: |z|>R}. Если f(z)ÎН(О(¥)), то в кольце О(¥) функция разлагается в ряд Лорана по степеням z-0=z: f(z)=...+C_-k/z^k+...+C_-1/z+C₀+C₁z+...+C_kz^k+... Этот ряд наз-ся рядом Лорана для функции f(z) в окрестности бесконечности....+C_-k/z^k+...+C_-1/z+C₀ - правильная часть, C₁z+...+C_kz^k - главная часть.

Определение: Res f(z) (в точке z=¥)=1/(2pi)ò(по замкнутой -g)f(z)dz, где (-g) - произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур в окрестности бесконечности, который обходится вокруг “¥” в положительном направлении (а значит, вокруг 0 обходится в отрицательном направлении).

Т.к. C_-1=1/(2pi)ò(по g)f(z)dz, то Res f(z) (в точке z=¥)= - С_-1

Пример: f(z)=z²/(1-z). Особая точка z=1. В О(¥)={z: |z|>1} функция аналитична. Ряд Лорана в окрестности ¥: f(z)=

=z²×1/(1-z)=| вынесем |z|>1|=z²×1/z×1/((1/z)-1)= -z×1/(1-(1/z))=| |1/z|<1|= -z(1+1/z+1/z²+...)= -z-1-1/z-1/z²-... Þ Res f(z) (в точке z=¥)=1.

Если f(z) аналитична в односвязной замкнутой области G за исключением конечного числа изолированных особых точек а₁,...,а_n внутри G, то интеграл от f(z) по границе области G (в положительном направлении) равен произведению 2pi на сумму вычетов этой функции в точках а₁,...,а_n.

 Окружим а₁,...,а_n попарно не пересекающимися кусочно-гладкими контурами g₁,...,g_n. В многосвязной области вне этих контуров f(z) аналитична, и по т-ме Коши для многосвязной области: ò(по g)f(z)dz=å ò(по g_k)f(z)dz=2pi×å1/(2pi)×ò(по g_k)f(z)dz=2pi×åRes f(z) (в точке z=a_k) g

Дата добавления: 2014-01-07