Т-ма о сумме вычетов в расширенной комплексной плоскости

Если аналитическая функция имеет на плоскости конечное число изолированных особых точек, то сумма ее вычетов во всех особых точках, включая z=¥, равна нулю.

 Проведем окружность |z|=R столь большого радиуса R, чтобы все конечные особые точки а₁,...а_n попали внутрь. Тогда по т-ме Коши о вычетах: ò(по g)f(z)dz=2pi×åRes f(z) (в точке z=a_k) Þ åRes f(z) (в точке z=a_k)+1/(2pi)ò(по -g)f(z)dz=0 Þ Þ|определение вычета в бесконечноудаленной точке| ÞåRes f(z) (в точке z=a_k)+Res f(z) (в точке z=¥)=0 g

Следствие. Res f(z) (в точке z=¥)= - åRes f(z) (в точке z=a_k).

7.3. Вычисление некоторых определенных интегралов от функций действительного переменного с помощью вычетов.

1.Несобственный интеграл. ò(от -¥ до +¥)f(x)dx (xÎR). Вместо f(x) рассмотрим f(z), где zÎC. Если f(z) имеет в верхней полуплоскости конечное число изолированных особых точек, а на оси Ох не имеет, то эти особые точки можно заключить в достаточно большой полукруг радиуса R. Тогда [ò(по g)f(z)dz=2pi×åRes f(z)] Þ [ò(от -R до R)f(z)dz+ò(по C_R)f(z)dz= =2pi×åRes f(z)] Þ [ò(от -R до R)f(x)dx=2pi×å - ò(по C_R)f(z)dz] Þ |R®¥| Þ [ò(от -¥ до +¥)f(x)dx=2pi×å - lim ò(по C_R)f(z)dz (при R®¥)]. Доказано, например, что если lim zf(z)=0 (при z®¥) (т.к. если f(z) - рациональная дробь, то это имеет место если степень знаменателя больше степени числителя на 2 и более), то lim ò(по С_R)f(z)dz=0 (при R®+¥), и потому ò(от -¥ до +¥)f(x)dx=2pi×åRes f(z) (в точке z=a_k)

Пример: ò(от -¥ до +¥)dx/(x⁴+4). Рассмотрим f(z)=1/(z⁴+4). Особые точки: z=⁴Ö-4=1+i, -1+i, -1-i, 1-i. В верхней полуплоскости z=1+i, -1+i (простые полюсы). lim zf(z)=lim z/(z⁴+4)=0 (при z®¥). Поэтому ò(от -¥ до +¥)dx/(x⁴+4)=

=2pi(Res f(z) (в точке z=1+i) + Res f(z) (в точке z=-1+i))=2pi((1-i)/16 - (1+i)/16)=p/4.

2. ò(от 0 до 2p)R(cost, sint)dt, где R(cost, sint) - выражение, рациональное относительно cost, sint (т.е. они связаны четырьмя арифметическими действиями). Будем считать, что этот интеграл есть результат вычисления интеграла от некоторой функции комплексного переменного f(z) по окружности |z|=1: ò(по |z|=1)f(z)dz=| на |z|=1: z=1×e^it, tÎ[0, 2p]|= =ò(от 0 до 2p)f(e^it)ie^itdt=ò(от 0 до 2p)R(cost, sint)dt. Установим вид этой функции. Должно быть: [f(e^it)ie^it=R(cost, sint)]Û

Û [f(e^it)ie^it=R((e^it+e^-it)/2, (e^it-e^-it)/2i)] Û |e^it=z| Û [f(z)=1/(iz)×R(1/2×(z+1/z), 1/2i×(z-1/z)]. Здесь z участвует в четырех арифметических действиях, значит f(z) есть рациональная функция от z, т.е. частное двух многочленов: f(z)=P_m(z)/Q_n(z). Многочлен Q_n(z) имеет только конечное число нулей, следовательно, f(z) может иметь только конечное число особых точек - полюсов. Поэтому ò(по |z|=1) может быть вычислен с помощью вычетов, попавших в круг |z|<1:

ò(от 0 до 2p)R(cost, sint)dt=|подставка e^it=z|=ò(по |z|=1)f(z)dz=2pi×åRes f(z).

Пример: ò(от 0 до 2p)dt/(cost-2)= |e^it=z, ie^itdt=dz, iz=dz, dt=dz/(iz), cost=1/2×(z+1/z)| =ò(по |z|=1)dz/(iz(1/2×(z+1/z)-2))= =2/i×ò(по |z|=1)dz/(z²-4z+1). f(z)=1/(z²-4z+1) имеет простые полюсы z₁=2-Ö3, z₂=2+Ö3. Из них |z₁|=|2-Ö3|=2-Ö3<1, |z₂|=2+Ö3>1 - вне круга Þ ò(от 0 до 2p)dt/(cost-2)=2/i×2pi×Res f(z) (в точке z=2-Ö3)=2/i×2pi×(-1/(2Ö3))=-2p/Ö3.

Дата добавления: 2014-01-07