Т-ма о существовании изображения

Операционное исчисление.

8.1. Преобразование Лапласа.

Определение 1: Преобразованием Лапласа для комплекснозначной функции действительного переменного f(t) наз-ся несобственный интеграл с комплексным параметром р: ò(от 0 до +¥)f(t)e^-ptdt=F(p)=Á(f(t)) (1)

Эта функция комплексного переменного F(p) наз-ся также изображением функции f(t) (по Лапласу). (Оператор Лапласа). F(p)¸f(t), F(p)«f(t).

Если: 1) f(t) кусочно-непрерывна на [0, +¥[ (т.е. на каждом конечном отрезке [a, b]Ì[0, +¥[ может иметь только конечное число точек разрыва 1-го рода - устранимых или скачков), 2) f(t) при t®+¥ растет не быстрее экспоненты: |f(t)|£Me^st, где М³0 и s³0 - некоторые постоянные, то в полуплоскости Rep>s сущ-ет изображение F(p) (т.е. несобственный интеграл (1) сходится), аналитическое в этой полуплоскости.

 Сначала заметим, что благодаря равенству ò(от a до b)z(t)dt=ò(от a до b)x(t)dt+i×ò(от a до b)y(t)dt определенный интеграл от комплекснозначной функции действительного переменного обладает обычными св-вами интеграла от действительнозначной функции действительного переменного. Т.к. e^-ptÎC[0, +¥[, то f(t)e^-pt, |f(t)e^-pt| тоже кусочно-непрерывны на [0, +¥[, и потому сущ-ют ò(от 0 до b)f(t)e^-ptdt и ò(от 0 до b)|f(t)e^-pt|dt. Если покажем, что при Rep>s интеграл (1) абсолютно сходится, т.е. сущ-ет ò(от 0 до +¥)|f(t)e^-pt|dt=lim ò(от 0 до b)|f(t)e^-pt|dt¹¥ (при b®¥), то отсюда будет следовать, что и сам интеграл (1) сходится, т.е. сущ-ет F(p)=ò(от 0 до +¥)f(t)e^-ptdt=lim ò(от 0 до b)f(t)e^-ptdt (при b®¥). Воспользуемся признаком сравнения (если ("xÎ[a, +¥[)[f(x)³0, j(x)³0, f(x)£j(x)], то из сходимости ò(от a до +¥)j(x)dx следует сходимость интеграла ò(от а до +¥)f(x)dx). Если Rep>s, то ("tÎ[0, +¥[): |f(t)e^-pt|=|f(t)|×|e^-pt|= | |e^z|=e^x=e^Rez |= =|f(t)|×e^Re(-pt)=|f(t)|×e^-(Rep)t£Me^st×e^-(Rep)tdt Þ |f(t)e^-pt|£Me^(s-Rep)t. Интеграл ò(от 0 до +¥)Me^(s-Rep)tdt сходится:

lim ò(от 0 до b)Me^(s-Rep)tdt=M×lim (e^(s-Rep)t/(s-Rep)) (от 0 до b)=M/(s-Rep)×lim (e^(s-Rep)b-1)= |s-Rep<0 Þ e^(s-Rep)b®0×(e^-¥)| = =M/(Rep-s)¹¥. Значит, и ò(от 0 до +¥)|f(t)e^-pt|dt сходится Þ ò(от 0 до +¥)f(t)e^-ptdt сходится. Аналитичность F(p) в области Rep>s примем без док-ва. g

Определение 2: Комплекснозначная функция действительного переменного f(t), определенная на [0, +¥[ и удовлетворяющая условиям 1) и 2) т-мы о существовании изображения, наз-ся оригиналом. Число s наз-ся показателем роста оригинала.

Ясно, что если s₁>s, то тем более |f(t)|£Me^s1t, поэтому любое большее число s₁ также явл-ся показателем роста. Если бывает нужно рассмотреть оригинал f(t) на всем интервале ]-¥, +¥[, то полагают f(t)=0 при t<0. Оригиналами явл-ся все ограниченные кусочно-непрерывные функции: |f(t)|£M Þ |f(t)|£Me^0t (показатель роста s=0). Например, f(t)=cost, sint. Все степенные функции f(t)=t^a (aÎR), т.к. они растут медленнее экспоненты. Все показательные функции f(t)=a^t (aÎC): |a^t|=

=|e^tLna|=|e^{t(ln|a|+iArga)}|=e^tln|a| Þ s=ln|a|. Примеры не оригиналов: f(t)=tgt (имеет разрывы 2-го рода t=p/2+kp). f(t)=e^{t^2} (растет быстрее e^st). Согласно т-ме о существовании изображения, для каждого оригинала f(t) с показателем роста s сущ-ет и притом единственное изображение F(p), аналитическое в полуплоскости Rep>s.

Т-ма обращения. Если f(t) - оригинал с показателем роста s, а F(p) - его изображение, то во всех точках, где f(t) непрерывна, выполняется равенство f(t)=1/(2pi)×ò(от a-i¥ до a+i¥)F(p)e^ptdp=Á^-1(F(p)), (2)

где а - любое действительное число, большее s, а интеграл берется по прямой g={p: Rep=a} и понимается как предел интеграла по отрезку от a-ib до a+ib при b®a.

 Без док-ва g

Т.о., каждому изображению F(p) по формуле (2) соответствует единственный оригинал f(t) (с точностью до значений в точках разрыва: оригиналы, отличающиеся значениями только в точках разрыва, имеют одно и то же изображение F(p)=

=ò(от 0 до +¥)f(t)e^-ptdt, т.к. значения функции f(t) в конечном числе точек не влияют на величину интеграла. Интеграл (2) наз-ся обратным преобразованием Лапласа.

Дата добавления: 2014-01-07