Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод фазовых траекторий для линейных систем

 

Как известно, в линейных системах второго порядка возможны следующие переходные процессы:

1. Устойчивые:

a. колебательный;

b. апериодический.

2. Неустойчивые:

a. колебательный;

b. апериодический.

3. Переходные процессы системы, находящейся на границе устойчивости:

a. апериодическая граница устойчивости;

b. колебательная граница устойчивости.

Рассмотрим эти переходные процессы и фазовые траектории, соответствующие данным переходным процессам


 

Устойчивый колебательный переходный процесс имеет вид:

 

 
 

 

 


Рис. 4.32.

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

 
 

 

 


Рис. 4.33.

Устойчивый апериодический переходный процесс имеет вид:

 

 

 
 

 


Рис. 4.34.

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

 
 

 


Рис. 4.35.

Неустойчивый колебательный переходный процесс имеет вид:

 

 
 

 

 


Рис. 4.36.

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

 
 

 

 


Рис. 4.37.

Неустойчивый апериодический переходный процесс имеет вид:

 
 

 

 


Рис. 4.38.

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

 
 

 


Рис. 4.39.

Система, находящаяся на границе колебательной устойчивости, имеет переходный процесс:

 

 

 
 

 

 


Рис. 4.40.

Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:

 

 
 

 

 


Рис. 4.41.

Рассмотрев фазовые траектории для линейных систем можно сделать следующие выводы:

§ В верхних квадрантах фазовой плоскости изображающая точка движется всегда слева направо, а в нижних – справа налево. Это объясняется тем, что при переменная возрастает, а при переменная убывает.

§ В любой точке фазовой плоскости, где переменная и функция не равны нулю, фазовая траектория имеет только одно определенное направление, соответствующее значению производной в данной точке. Из этого следует, что фазовые траектории в таких точках не пересекаются.

§ Если , то , т. е. фазовые траектории пересекают ось под прямым углом, а переменная достигает своего максимума. Если при одновременно , то фазовая траектория в таких точках не имеет определенного направления, а обе производные и равны нулю. (18). Последнее означает, что изображающая точка неподвижна, а исследуемая система управления находится в состоянии равновесия. Такие точки называются особыми.

§ Если переходный процесс является сходящимся, что соответствует устойчивым система, то фазовая траектория имеет вид либо скручивающейся к началу координат спирали (для колебательного процесса), либо дуги, сходящейся к началу координат (для апериодического процесса);

§ Если система неустойчива, то фазовая траектория - раскручивающаяся спираль или расходящаяся дуга;

§ Если в системе установились колебания с постоянной амплитудой и частотой, то фазовой траекторией является эллипс, который называется предельным циклом.. По параметрам эллипса можно определить амплитуду и частоту;

§ Для всех фазовых траекторий характерны следующие особенности: в верхних квадрантах плоскости фазовые траектории имеют направление слева направо; в нижнем квадранте – справа налево

 

Свойства фазовых траекторий для линейных систем сохраняются и для фазовых траекторий нелинейных систем. Однако фазовые траектории нелинейных систем имеют свои особенности.

 

4.5.1.3. Особенности нелинейных систем:

 

§ В нелинейных системах, как правило, рассматривают фазовый портрет системы, т. е. совокупность фазовых траекторий, соответствующих различным начальным условиям.

§ Нелинейные элементы изменяют фазовые траектории, например фазовые траектории нелинейных систем с нелинейностями типа «реле» имеют изломы в линии, называемой линией переключения

Рис. 4.42.

§ Если нелинейный элемент имеет зону нечувствительности, то фазовый портрет нелинейной системы имеет множество особых точек, которые определяют отрезок равновесия.

 
 

 

 


Рис. 4.43.


 

§ Режиму автоколебаний соответствует фазовый портрет, на которм фазовые траектории сходятся к предельному циклу.

 

 
 

 


Рис. 4.44.

§ Для систем устойчивых в малом, но неустойчивых в большом фазовый портрет имеет вид, при котором фазовые траектории, внутри предельного цикла сходятся к началу координат, а вне предельного цикла расходятся от предельного цикла. Предельный цикл в данном случае является неустойчивым.

 
 

 


Рис. 4.45.

 

Метод фазовых траекторий графическим методом дает наглядное изображение устойчивости систем и определения режима автоколебания.

В отличие от линейных систем в нелинейных может быть несколько режимов автоколебания, что соответствует нескольким предельным циклам. Параметры предельного цикла определяют параметры автоколебания (амплитуду и частоту). Однако метод фазовых траекторий удобен для исследования систем второго и третьего порядков, поэтому этот метод имеет ограниченное использование.


 

ПРИМЕР

Построить фазовый портрет для следующей системы

 
 

 

 


Рис. 4.46.

Где , а нелинейный элемент – реле, имеющий статическую характеристику :

 
 

 

 


Рис. 4.47.

 

Уравнение (4.12) можно переписать в виде

 

(4.27)

Если входной сигнал – единичное ступенчатое воздействие, то (27) принимает вид

(4.28)

 

Введем новые фазовые переменные:

(4.29)

Уравнение фазовых траекторий имеет вид:

(4.30)

При уравнение имеет вид:

(4.31)

При уравнение имеет вид:

(4.32)

Разрешив такие уравнения при заданных начальных условиях можно получить уравнение для фазовых траекторий:

Для

(4.33)

Для

(4.33)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Применение метода фазовых траекторий для системы описанной в терминах пространства состояний | Метод гармонической линеаризации
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1194; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.027 сек.