Звуковое сопровождение лекции. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Определение

Минором элемента квадратной матрицы называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания -й строки и -го столбца.

Пример

, .

Определение

Алгебраическим дополнениемэлемента квадратной матрицы называется число .

Пример

.

.

Пример 4(для самопроверки)

Для определителя найдите миноры и алгебраические дополнения элементов и .

Ответ

8°. Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

–

– формула разложения определителя третьего порядка по первой строке.

Для определителя -го порядка:

– формула разложения по элементам -го столбца;

– формула разложения по элементам -й строки.

Замечание

В формулах разложения выражается через определители порядка , т.е. на единицу меньше исходного.

9°. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю:

.

10°. Величина определителя треугольной матрицы равна произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

Доказательство

Разложим определитель по элементам первого столбца:

.

Замечание

Перечисленные свойства используются при вычислении определителей.

1.5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода)

Дата добавления: 2014-01-07