Покой при равномерном вращении сосуда с жидкостью

Рассмотрим сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью ω. На жидкость действуют внешнее давление, силы тяжести и инерционные силы. В результате их действия жидкость принимает новое равновесное положение. Свободная поверхность принимает форму параболоида. Рассмотрим на этой поверхности произвольную точку N. Равнодействующая сила R, действующая в т. N, перпендикулярна к свободной поверхности. Величина этой силы увеличивается с увеличением радиуса, а угол её наклона к горизонту уменьшается. Из этого следует, что наклон этой поверхности к горизонту увеличивается с ростом радиуса. Таким образом, сила R определяет форму свободной поверхности. Найдём математическую формулу этой кривой.

Из рисунка видно, что

Выразим отсюда dz:

Проинтегрировав, будем иметь:

.

Постоянную интегрирования найдём из известных условий: при . Подставив эти значения в последнее равенство, получим, что . В итоге будем иметь формулу, описывающую форму кривой, образующей свободную поверхность:

Теперь определим давление в жидкости, используя полный дифференциал давления

Для данного случая относительного покоя

С учётом этого полный дифференциал давления примет вид

Проинтегрируем эту функцию

Результатом интегрирования будет являться выражение

Учитывая, что , где r – радиус вращения, получим

Постоянную интегрирования C определим из условия, что при , тогда . Постоянная интегрирования с учётом принятых условий будет

Тогда формула, выражающая давление в жидкости, вращающейся с постоянной угловой скоростью, примет вид

Заметим, что в итоговом выражении первое слагаемое, характеризует давление внешней среды. Второе слагаемое описывает давление, созданное столбом жидкости, находящейся ниже точки 0, т.е. глубиной под уровнем нулевой точки. Третье слагаемое характеризуется высотой над точкой 0, и, следовательно, описывает давление, создаваемое жидкостью, поднимающейся по краям сосуда, причём эта величина зависит от расстояния точки от оси вращения. Таким образом, оказывается, что давление в каждой точке жидкости, вращающейся с постоянной скоростью относительно вертикальной оси, складывается из внешнего давления и давления столба жидкости над этой точкой.

Из приведённого анализа можно сделать следующий вывод. Сосуд с равномерно вращающейся жидкостью можно мысленно представить как совокупность сосудов, имеющих бесконечно малые площади. Давление в любой точке такого сосуда подчиняется основному уравнению гидростатики и подсчитывается привычным образом. Высота столба жидкости в сосудах зависит от частоты вращения и радиуса вращения реального сосуда. Отсюда становится понятно, что вариант равномерного вращения жидкости вокруг произвольно расположенной вертикальной оси (в начале лекции он отмечен цифрой 3) практически не отличается от уже рассмотренного.

Дата добавления: 2014-01-07