Решение. 1. Так как =1 не равно =3, то игра не имеет седловой точки

1. Так как =1 не равно =3, то игра не имеет седловой точки.

2. В данной игре нет дублирующих и доминируемых стратегий.

3. Решаем игру путем решения пары двойственных задач линейного программирования.

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования будут выглядеть следующим образом:

Прямая (исходная) задача: Найти неотрицательные переменные х1,х2,х3, минимизирующие функцию min L (x)= х 1+ х 2+ х 3, при ограничениях: х 1+3 х 2+ х 31; 2х 1+ х 2+3 х 31; 3х 1+ х 2+ х 31; x i0, .

Двойственная задача: Найти неотрицательные переменные у1,у2,у3, максимизирующие функцию max L (x)=y1+y2+y3, при ограничениях: y 1+2y2+3y31; 3y 1+y2+y31; y 1+3y2+y31; y j0, .

Данные задачи решаются, например, симплекс - методом. Поскольку в двойственной задаче ограничения имеют вид “£“, то эту задачу решать проще (не нужно вводить искусственные переменные). Оптимальное решение исходной задачи можно будет непосредственно получить из данных симплекс - таблицы для оптимального решения двойственной задачи.

Начальная симплекс - таблица двойственной задачи имеет вид

БП	у1	у2	у3	у4	у5	у6	Решение
у4
у5
у6
L	-1	-1	-1

ведущий столбец

Последующие симплекс-таблицы приведены ниже:

БП	у1	у2	у3	у4	у5	у6	Решение
у4
у1
у6
L

ведущий столбец

БП	у1	у2	у3	у4	у5	у6	Решение
у4
у1
у2
L

ведущий столбец

И, наконец, получаем симплекс-таблицу, которая соответствует оптимальному решению двойственной задачи:

БП	у1	у2	у3	у4	у5	у6	Решение
у3
у1
у2
L

Оптимальное решение двойственной задачи линейного программирования следующее:

у₁=; у₂=; у₃=; max L (y)= .

Находим оптимальную смешанную стратегию игрока В в соответствии с формулами (2.37) и (2.38):

;

.

Следовательно, .

Оптимальное решение исходной задачи находим, используя двойственные оценки, из симплекс - таблицы для оптимального решения двойственной задачи: коэффициент при начальной базисной переменной в оптимальном уравнении прямой задачи равен разности между правой и левой частями ограничения двойственной задачи, ассоциированного с данной начальной переменной.

Получаем x₁=; x₂=; x₃=; max L (x)= .

Отсюда определим вероятности применения своих активных стратегий игроком А:

.

Следовательно: .

Таким образом, решение игры mxn сводится к решению задачи линейного программирования. Нужно заметить, что и наоборот, - для любой задачи линейного программирования может быть построена эквивалентная ей задача теории матричных игр. Эта связь задач теории матричных игр с задачами линейного программирования оказывается полезной не только для теории игр, но и для линейного программирования. Дело в том, что существуют приближенные численные методы решения матричных игр, которые при большой размерности задачи могут оказаться проще, чем симплекс - метод.

Дата добавления: 2014-01-07