КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальное уравнение Кармана равновесия продольных сил в очаге деформации
Выделим в низком и широком очаге деформации (например, в зоне отставания) на расстоянии х от сечения выхода элемент abcd длиной dx (рис 63), находящийся в статическом равновесии. Ему соответствует центральный угол d j х. Угол j отрицательный слева от осевой плоскости валков и положительный - справа. Справа на выделенный элемент действует сила -sxhxb, где sx – среднее по высоте напряжение сжатия, действующее противоположно направлению оси х. Аналогично, на левую площадку высотой (hx+dhx) действует сила (sx + dsx)(hx+dhx) b, направленная по оси х. По поверхности контакта выделенного элемента действуют силы нормального давления р и трения t, причем t в зоне опережения действует по ходу прокатки (в положительном направлении по оси х), а в зоне отставания – в обратном направлении. Для выделенного элемента сумма проекций всех сил на ось Х равна нулю: (sx + dsx)(hx+dhx) b - sxhxb + 2р× sinjх× bdx/ cosjх + 2t× cosjх × bdx/ cosjх =0. Делим на b, отбрасываем бесконечно малые второго порядка и группируем члены: Данное выражение впервые было получено Карманом. Выражение в скобках есть полный дифференциал. Касательные напряжения на соответствующем участке зоны контакта выразим формулой: . Знак касательных напряжений учтём в формулах. Подставляем tx в уравнение и делаем замену переменной X на j, учитывая, что . В результате получаем уравнение равновесия в форме Орована: . Это уравнение может быть решено подстановкой вместо p и μ аппроксимирующих степенных функций. Причём решение будет справедливым и для случая прокатки с трением (т.е. при невыполнении гипотезы плоских сечений). Уравнение справедливо также при наличии зоны упругого восстановления полосы на выходе из валков.
Рассмотрим решение дифференциального уравнения, полученное Карманом (считаем далее угол j положительным).
Подставим в уравнение dx = dhx / 2tgjx. Получаем . Для элемента, выделенного в зоне опережения, последнее слагаемое будет иметь знак “-” (минус). При малом угле jx (соответствует прокатке тонких полос) и малом коэффициенте трения (справедлива гипотеза плоских сечений) вполне можно считать главное напряжение s3, нормальное напряжение sy и давление р равными s3 @ sy @ - р. Справедливо будет в этом случае также s1 @ sх Тогда условие пластичности металла запишем в виде (здесь принято сжимающее sх>0) р - sх = nК, где К - предел текучести материала при прокатке, который зависит от температуры, степени и скорости деформации. Коэффициент Лодэ n на узких образцах (при плоском напряженном состоянии) равен единице, а на широких образцах (при плоской деформации) n = 1,155. Продифференцировав последнее равенство, будем иметь (считаем К =const): dp = dsx. Подставляя в уравнение равновесия условие пластичности а также закон трения Кулона t = m р, получим известное упрощенное уравнение Т. Кармана ( выше - полное уравнение Кармана ), справедливое для прокатки тонких полос с низким трением: . Для зоны опережения будет знак ”+”. Лекция 17
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1120; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |