Решение дифуравнения Кармана А.И. Целиковым

Для решения этого уравнения требуется выразить tgj_x через линейные параметры очага деформации. Самое простое выражение получится в том случае, когда дуга захвата (дуга окружности) заменяется хордой ( решение Целикова А.И.). Тогда среднее значение tgj_x в зоне отставания и опережения будут, соответственно, равны:

(tgj_x)_ср = tg(a + g) /2 и (tgj_x)_ср = tgg/2.

Введем обозначения (считаем μ=const)

d₀ = 2m / tg(a + g) и d₁ =2m / tg g.

Тогда для зоны отставания и опережения получим:

После разделения переменных и интегрирования имеем:

- для зоны отставания

- и для зоны опережения

.

Константы интегрирования С₀ и С₁ получим из граничных условий на входе и выходе из очага деформации. Если нет натяжения полосы, то при h_x = h₀ и h_x = h₁ будем иметь s_х = 0 и по условию пластичности

p = nK.

А. И. Целиков рассмотрел более общий случай, когда имеются заднее s₀ и переднее s₁ натяжения, которым следует приравнять напряжения s_х на входе и выходе из очага деформации. Тогда условие пластичности при h_x =h₀ будет иметь вид:

p = nK - s₀.

Если обозначить x₀ = 1 - s₀ /nК, то

p =x₀ nK.

Аналогично, для зоны опережения при h_x =h₁ x₁ = 1 - s₁ /nК и

p =x₁n K.

Коэффициенты x₀ и x₁ называют коэффициентами натяжения.

При таких граничных условиях постоянные интегрирования будут следующими:

Подставляя их в исходное уравнение, получаем известные в теории ОМД формулы А.И.Целикова для расчета нормальных напряжений на низком очаге деформации:

- для зоны отставания

Дата добавления: 2014-01-07