Умножение матриц

1) Не любые две матрицы можно перемножить.

2) Для того, чтобы два матрицы А и В можно было перемножить, число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В.

Пусть матрица размерности m n и матрица размерности n k. Тогда матрица– размерности m k определяется следующим образом.

Определение: Произведением матрицы ) на матрицуназывается матрица элементыкоторой представляют собой сумму произведений элементов i -той строки матрицы А на элементы j -того столбца матрицы В. Обозначается С = А В.

Возьмем, например, матрицы второго порядка

А = , В = .

Тогда

А В = = .

Пример:

А = ; В =

А2*3 В3*1 = С2*1

С = .

Свойства умножения матриц:

1. Умножение матриц некоммутативно: А В ≠ В А.

Пример:

А В =

В А = .

2. Умножение матриц ассоциативно:

А (В С) = (А В) С

3. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц:

А (В + С) = А В + А С

4. Для любой квадратной матрицы А

А Е = Е А = А.

(Е-единичная матрица той же размерности, что и матрица А).

Определители второго и третьего порядка

Определение. Матрицей второго порядка называется таблица вида

– числа– элементы матрицы,

i – номер строки,

j – номер столбца.

Матрицы обозначается

.

Определение. Определителем второго порядка называется число .

Обозначается .

.

Пример. 1) .

2) Решить уравнение: .

Определение. Рассмотрим таблицу вида , где

– числа – элементы матрицы,

i - номер строки,

j - номер столбца.

Такая таблица называется матрицей третьего порядка.

Определение. Определителем третьего порядка называется число

.

Пример. .

Свойства определителей

1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами.

2. Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.

3. Если определитель содержит две одинаковые или пропорциональные строки, то он равен нулю.

4. Если переставить местами две строки, то определитель поменяет знак.

5. Если элементы строки умножить на k, то и определитель умножиться на k.

6. Определитель не измениться, если к элементам некоторой строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Свойства 2 – 6 справедливы и для столбцов (в силу свойства 1).

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.

Правило Крамера

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид

(1)

Здесь

x, y – неизвестные системы,

- коэффициенты системы,

- свободные члены системы.

Решить систему (1) – это значит найти такие x и y, при подстановке которых уравнения преобразуются в тождества (верные равенства).

Составим определители:

- определитель системы,

, .

Возможны следующие случаи:

1. Если , то система (1) имеет единственное решение.

; (2)

(2) – Формулы Крамера.

2. Если или , то система несовместна (не имеет решений).

3. Если , то система неопределена (имеет бесконечное множество решений).

Пример.

,

, .

Система имеет единственное решение:

; .

Ответ..

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

(3)

Составим определители:

, ,

, .

Возможны случаи.

1. Определитель системы , тогда система имеет единственное решение.

, , (4)

(4) – Формулы Крамера.

2. Если , или , или , то система несовместна (не имеет решений).

3. Если , то система неопределенная (имеет бесконечное множество решений).

Пример:

Найдем определители.

,

,

.

Найдем неизвестные по формулам (4).

Ответ. (1; 2; 3).

Дата добавления: 2014-01-07