Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Говорят, что задача подчиняется схеме Бернулли, если при повторных независимых испытаниях:

1. число испытаний n конечно

2. каждое испытание имеет только два исхода: 1) событие А осуществилось и 2) событие А не осуществилось

3. все испытания независимые

4. вероятность появления события А в каждом испытании постоянна

Если при выполнении n независимых повторных испытаний вероятность осуществления события А в каждом отдельном испытании равна p (вероятность противоположного события равна q=1-p), то вероятность осуществления события А ровно m раз в n испытаниях выражается формулой Бернулли:

Предельные случаи формулы Бернулли (асимптотические формулы):

а) При большом числе n повторных испытаний пользоваться формулой Бернулли затруднительно, т. к. это связано с большими числами.

Теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность осуществления некоторого события А в n испытаниях постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность p_n(m) того, что в n независимых испытаниях событие А осуществится ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

где ;

Функция четная, т.е. . Значения функции можно найти в таблицах.

б) Однако, если n велико, но при этом вероятность p события мала (p≤0,1). Вэтом случае пользуются асимптотической формулой Пуассона (законом редких событий):

где . Приближенное правило применения формулы Пуассона состоит в том, что n должно быть не меньше нескольких десятков, а лучше сотен, значение параметра μ должно находиться между 0 и 10. При больших μ рекомендуется применять теорему Муавра – Лапласа.

Дата добавления: 2014-01-07