Фундаментальные свойства задачи оптимизации

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ И РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ

УЧЕБНЫЕ И ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛИ

Лекция № 3. Основные положения теории экстремумов.

Тема № 1. Методологические основы теории принятия решений.

Теория принятия решений

Обсуждено на заседании кафедры

"___" августа 2011 г.

Протокол № 1

1. Усвоить основные положения теории экстремумов.

2. Рассмотреть фундаментальные свойства задачи оптимизации.

3.. Воспитывать творческий подход и настойчивость при изучении дисциплины

Время: 2 часа. Место: Аудитория.

МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ:

Литература : Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебник. М., «Экзамен», 2006.

Наглядные пособия: дидактический материал (слайды).

Технические средства обучения: “Лектор–2000”.

I.	Введение		мин.
II.	Учебные вопросы
	1. Фундаментальные свойства задачи оптимизации.		мин.
	2. Понятия экстремума и оптимума функции одной переменной.		мин.
	3. Понятия экстремума и оптимума функции нескольких переменных.		мин.
III.	Заключение		мин.

ВВЕДЕНИЕ

Проверить наличие студентов и их готовность к занятию.

Объявить студентам о том, что они продолжают изучение темы «Методологические основы теории принятия решений», играющей важнейшую роль в понимании сущности дисциплины. Довести до студентов, что данная тема включает 6 часов аудиторных лекционных занятий.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗЛОЖЕНИЮ УЧЕБНЫХ ВОПРОСОВ

При изложении первого вопроса рассмотреть фундаментальные свойства задачи оптимизации. Изложение учебного материала проводится с элементами диалогового метода, при этом студентам задается следующий вопрос: ´ Как можно сформулировать понятие целевой функции?

При изложении второго вопроса рассмотреть понятия экстремума и оптимума функции одной переменной. Изложение учебного материала проводится с элементами диалогового метода, при этом студентам задается следующий вопрос: ´ Какие задачи оптимизации с точки зрения формулирования целевой функции вы можете назвать?

При изложении третьего вопроса изучить понятия экстремума и оптимума функции нескольких переменных. Изложение учебного материала п роводится с элементами диалогового метода, при этом студентам задается следующий вопрос: ´ Какие задачи называются задачами «на условный» и «на безусловный» экстремум?

Любая задача оптимизации может быть представлена как задача максимизации или как задача минимизации: для перехода от одного вида задачи к другому достаточно изменить знак целевой функции. Так, задача минимизации функции f =(x -5) ² эквивалентна задаче максимизации функции f ₁=-(x -5) ², и наоборот.

Различают локальный и глобальный оптимумы (иногда применяют термины-синонимы: относительный и абсолютный оптимумы). Значение целевой функции, наилучшее на всей области D, называют глобальным оптимумом, а соответствующую точку X ^* – точкой глобального экстремума или глобальным решением. Если же f (X^*) – наилучшее значение на окрестности точки X ^* в области D, то говорят о локальном экстремуме.

Другой признак, по которому различают задачи и экстремумы, – наличие условий-ограничений, накладываемых на искомые переменные. Если модель задачи оптимизации не содержит условий (область D совпадает со всем евклидовым пространством), то имеем задачу на безусловный экстремум. В иных случаях, то есть при наличии ограничений, говорят о задаче на условный экстремум.

Очевидны следующие фундаментальные свойства задачи оптимизации.

1. Для одной и той же целевой функции условный экстремум не может быть лучше безусловного.

2. Сужение (расширение) множества D не может улучшить (ухудшить) глобальный экстремум.

Решение задачи оптимизации. Не для всех задач может быть найдено оптимальное решение. Простейший пример: нельзя найти минимум функции f= 10- x как при отсутствии ограничений, так и при условии x і5. Для существования решения задачи оптимизации целевая функция и допустимое множество должны обладать определенными свойствами. В общем случае существование решения устанавливается следующей теоремой Вейерштрасса.

Теорема. Всякая функция, непрерывная на непустом замкнутом и ограниченном множестве, обладает наибольшим и наименьшим значениями, которые достигаются либо внутри множества, либо на его границе.

Условия теоремы гарантируют существование глобального оптимума, однако конкретная задача может иметь решение и на неограниченном или открытом множестве. На практике задачи исследования операций удовлетворяют условиям приведенной теоремы. Отметим, что теорема не требует непрерывности производных целевой функции.

Для определения глобального экстремума необходимо выявить и исследовать все точки, подозреваемые на экстремум. Эти точки называют также экстремальными или критическими. Из необходимых условий экстремума и теоремы Вейерштрасса следует, что возможны только три вида экстремальных точек:

- точки, в которых все частные производные первого порядка целевой функции одновременно обращаются в нуль, – стационарные точки;

- точки, в которых одна или большее число частных производных первого порядка перестают существовать (терпят разрыв);

- точки на границе допустимого множества.

Дата добавления: 2014-01-07