Замечание 1

Естественный способ задания движения точки

3º. Описание естественного способа задания движения

В этом Дополнении 2 к §2 дается описание алгоритма перехода от векторного способа задания движения к заданию движения естественным способом.

Пусть движение материальной точки задается векторным способом

, . (1.2.8)

Будем смотреть на соотношение (1.2.8)

, . (1.2.8)

как на векторное задание кривой в абсолютном пространстве.

В нем является параметром, принимающим значения из промежутка , а вектор-функция – параметризацией кривой.

По определению, данная кривая является траекторией движения.

Однако ее параметризация не является естественной.

При естественном способе задания движения требуется, чтобы траектория задавалась в естественной параметризации .

Ясно, что алгоритм перехода от векторного способа задания движения к естественному способу должен содержать описание действий, направленных на построение естественной параметризации .

Чтобы определить функцию , достаточно найти связь между длиной дуги траектории и временем .

Если такая связь будет найдена, то, заменив в правой части равенства (1.2.8) аргумент на , получим естественную параметризацию .

Зависимость может быть найдена из закона движения

как обратная функция по отношению к нему.

Этот закон , также как и естественная параметризация траектории, должен быть известен при естественном способе задания движения.

А потому задача перехода от векторного способа к естественному будет решена, если укажем алгоритм построения по вектор-функции .

Поставленную задачу будем решать при следующем ограничении на движение (только при его выполнении возможен переход к естественному способу):

– траектория, определяемая заданием (1.2.8),

, , (1.2.8)

является регулярной кривой второй кратности и без особых точек.

Установим вид функции , соответствующей движению . Для этого выполним следующие операции:

– находим , используя формулу для дифференциала дуги

.

С этой целью фиксируем и интегрируем данное соотношение в пределах от до .

В результате получим искомую функцию :

, . (1.2.9)

Очевидно, является неубывающей, так как под интегралом стоит неотрицательная функция ;

– находим обратную функцию к функции , задаваемой формулой (1.2.9),

. (1.2.10)

Такая функция существует, по крайней мере, для всех , при которых , т.е. при тех , где строго монотонно возрастает;

– подставим (1.2.10) в (1.2.8):

, . (1.2.8)

Тогда в совокупности с (1.2.9):

, (1.2.9)

будем иметь

, .

Таким образом, приходим к естественному способу задания движения.

В формуле (1.2.9) обозначает длину дуги траектории, ограниченной точкой отсчета длин дуг и положением на траектории материальной точки в момент . Если в качестве точки отсчета длин дуг взять положение , то в ней будем иметь .

Дата добавления: 2014-01-07