Уравнения равновесия граничного элемента

Если p_x<0, то p_x действует против оси х. Усилия всегда изображаются по оси х, если необходимо указать, что оно действует против оси, ставят знак “ – “.

Рассмотрим

Малые элементы, примыкающие к границе:

Для упрощения выкладок считаем, что , то есть d_x по сравнению с d_у бесконечно мал тогда вкладом напряжений на горизонтальных площадках можно пренебречь.

На правой грани в состоянии покоя должны выполняться такие условия:

По аналогии получаем уравнения равновесия элемента расположенного на верхней грани:

Уравнения равнения равновесия элемента расположенного на наклонной грани:

Уравнения равнения равновесия элемента расположенного на левой грани:

Правила для изображения направления напряжений

Нормаль направлена в ту сторону тела, часть которого действует на рассматриваемую часть (в сторону отброшенной части). Если направление нормали совпадает с осью Х, то σ_х, τ_ху, направлены в положительном направлении осей, если нет, то напряжения направлены в обратную сторону.

Метод коллокаций

Суть метода- искомые напряжения представляются в виде суммы функций с искомыми коэффициентами. Например:

Функции при коэффициентах выбираются на усмотрение того, кто вычисляет, из соображений простоты или точности.

a_ij; b_ij; c_ij – отыскиваются из уравнений равновесия

Уравнения равновесия внутреннего элемента:

Подставляем сюда заданные нами функции для σ_x, τ_xy, σ_y:

Получаем два уравнения относительно искомых коэффициентов.

Обеспечить выполнение этих уравнений во всех внутренних элементах не представляется возможным, поэтому удовлетворяем их только в некоторых элементах – точках коллокации. Точками коллокации называются координаты бесконечно малых элементов, в которых мы удовлетворяем уравнении равновесия. Самыми удобными функциями являются степенные функции.

Кроме внутренних элементов аналогичным образом только в некоторых элементах выполняются граничные условия, то есть уравнения равновесия граничных элементов.

Число всех уравнений должно быть равно числу всех неизвестных коэффициентов.

Пример:

Решение ищем в виде:

a_ij=?; b_ij=?; c_ij=?

Из уравнений равновесия внутреннего элемента получаем:

Из уравнений равновесия элемента на левой грани:

Из уравнений равновесия элемента на наклонной грани:

Получаем решение задачи о дамбе:

Аналогично определяются уравнения для отыскания оставшихся неизвестных из второго уравнения.

Выводы из решения:

~ Решение имеет очень простой вид

~ Это решение не может удовлетворить условия закрепления основания:на линии АВ e_х=0 по закону Гука:(если подставить вычисленные значения напряжений), если нас не интересует точность решения в опорной зоне, то решение приемлемо. Однако это противоречие не является столь существенным, так как условие жесткой заделки обеспечить невозможно. Все недостатки решения сглаживаются введением коэффициента запаса.

Решение задач теории упругости при наличии ограничений на перемещения

Рассмотри деформации балки-стенки под действием некоторой нагрузки. - вектор перемещений. Так как разные элементы перемещаются по разному, - зависит от координат элемента (его положения): =(х, у, z)

По закону параллелограмма мы можем рассматривать не вектор, а его компоненты.

Дата добавления: 2014-01-07