Вероятность гипотез. Формулы Бейса

Формула полной вероятности

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же опыте.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB).

Замечание 1. Если два события независимы, то:

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (A) P (B).

Замечание 2. Если два события зависимы, то:

P (A + B)= P (A) + P (B) – P (A) PA (B).

Замечание 3. Если два события несовместимы, то:

P (A + B) = P (A) + P (B).

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны P 1 = 0,8, P 2 = 0,9. Найти вероятность попадания при одновременном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Рассмотрим два способа решения.

1. По условию события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) совместны и независимы. Вероятность того, что оба орудия попали

P (AB) = P (A)× P (B) = 0,8×0,9 = 0,72.

Вероятность попадания при одновременном залпе хотя бы одним из орудий

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) = 0,8 + 0,9 – 0,72 = 1,7 – 0,72 = 0,98.

2. Так как события А и В независимы, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий вычислим по формуле

P = 1 – q ₁ q ₂,

где q ₁ и q ₂ вероятности событий, противоположных событиям А и В

q ₁ = 1 – 0,8 = 0,2, q₂ = 1 – 0,9 = 0,1.

Вероятность появления хотя бы одного события:

P = 1 – q ₁ q ₂ = 1 – 0,2×0,1 = 1 – 0,02 = 0,98.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В ₁, В ₂, …, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

P (A) = P (B ₁) P_{B 1} (A) + P (B ₂) P_{B 2}(A) +... + P (B_n) P_Bn (A).

Пример. Имеется две группы людей. Вероятность того, что человек из первой группы будет партийный, равна 0,4, а второй – 0,6. Найти вероятность того, что выбранный наудачу человек является партийным.

Решение. Человек может быть выбран либо из первой группы (событие B ₁), либо из второй группы (событие B ₂). Вероятность того, что человек выбран из первого группы P (B ₁) = 0,5, из второй – P (B ₂) = 0,5.

Условная вероятность выбора из первой группы партийного P_{B 1}(A) = 0,4, из второй – P_{B 1}(A) = 0,6.

Вероятность выбора на удачу партийного человека вычислим по формуле полной вероятности:

P (A) = P (B ₁) P_{B 1}(A) + P (B ₂) P_{B 2}(A) = 0,5×0,4 + 0,5×0,6 = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B ₁, B ₂,..., B_n, образующих полную группу.

Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

P (A) = P (B ₁) P_{B 1}(A) + P (B ₂) P_{B 2}(A) +... + P (B_n) P_Bn (A).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Выясним, как изменились вероятности гипотез после того, как появилось событие А.

По теореме умножения имеем P (AB ₁) = P (A) P_A (B ₁) = P (B ₁) P _B1(A). Выражая P_A (B ₁), получим P_A (B ₁) = P (B ₁) P_{B 1}(A)/ P (A). Используя формулу полной вероятности, получим

P_A (B ₁) = P (B ₁) P_{B 1}(A)/{ P (B ₁) P_{B 1}(A) + P (B ₂) P_{B 2}(A) +... + P (B_n) P_Bn (A)}.

По аналогии

P_A (B_i) = P (B_i) P_Bi (A)/{ P (B ₁) P_{B 1}(A) + P (B ₂) P_{B 2}(A) +... + P (B_n) P_Bn (A)}.

Полученные формулы называют формулами Бейса (по имени английского математика).

Формулы Бейса позволяют переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Для участия в спортивных студенческих соревнованиях, выделено из первой группы – 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадёт в сборную института, равны соответственно 0,9, 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. Какой группе вероятнее всего принадлежит этот студент?

Решение. Всего 15 студентов. Вероятность выбора из первой группы P (B ₁) равна 4/15; из второй группы P (B ₂) равна 6/15; из третьей группы P (B ₃) равна 5/15.

Вероятность попадания в сборную P (A) вычислим по формуле полной вероятности:

P (A) = P (B ₁) P_{B 1}(A) + P (B ₂) P_{B 2}(A) + P (B ₃) P_{B 3}(A);

P (A) = (4/15)×0,9 + (6/15)×0,7 + (5/15)×0,8 = 11,8/15 = 59/75.

Найдём вероятность того, что выбранный студент попал в сборную из первой группы: PA (B ₁) = P (AB ₁)/ P (A) = P (B ₁) P_{B 1}(A)/ P (A) = (4/15)×0,9/(59/75) = 18/59;

из второй PA (B ₂) = (6/15)×0,7/(59/75) = (4,2/15)×(75/59) = 21/59;

из третьей PA (B ₃) = (5/15)×0,8×(75/59) = 20/59.

Ответ: вероятнее всего студент принадлежит второй группе.

Глава 3. Повторение испытаний

Дата добавления: 2014-01-07