Вероятность появления хотя бы одного события

Искомая вероятность

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е.

Р_А (В) = Р (В)

Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р (А)× Р (В).

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

События А, В, С попарно независимы, если А и В, А и С, В и С независимы.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких независимых событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А ₁× А ₂×…× А_n) = Р (А ₁)× Р (А ₂)×…× Р (А_n).

Следствие 2. Если события А ₁, А ₂, …, А_n независимы, то противоположные им события Ā₁, Ā ₂, …, Ā_n так же независимы.

Пример. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах равна Р ₁ = 0,4; Р ₂ = 0,5; Р ₃ = 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов произойдет ровно одно попадание.

Решение. Событие А – ровно одно попадание в мишень; А ₁, А ₂, А ₃ – попадание при первом, втором и третьем выстрелах соответствено; Ā ₁, Ā ₂, Ā ₃ – промах при первом, втором и третьем выстрелах соответствено. Событие А может наступить, если первый стрелок попал, а второй и третий не попали А ₁ Ā ₂ Ā ₃; если второй стрелок попал, а первый и третий не попали Ā ₁ А ₂ Ā ₃; если третий стрелок попал, а первый и второй не попали Ā ₁ Ā ₂ А ₃:

А = А ₁ Ā ₂ Ā ₃ + Ā ₁ А ₂ Ā ₃ + Ā ₁ Ā ₂ А ₃.

Р (А) = Р (А ₁ Ā ₂ Ā ₃) + Р (Ā ₁ А ₂ Ā ₃ ) + Р (Ā ₁ Ā ₂ А ₃);

Р (А) = Р (А ₁)× Р (Ā ₂)× Р (Ā ₃) + Р (Ā ₁)× Р (А ₂)× Р (Ā ₃) + Р (Ā ₁)× Р (Ā ₂)× Р (А ₃);

Р (А) = 0,4×0,9×0,3 + 0,6×0,9×0,3 + 0,6×0,9×0,7 = 0,06 + 0,09 + 0,21 = 0,36.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А ₁, А ₂, …, А_n, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Ā ₁, Ā ₂,…, Ā_n:

Р (А) = 1 – Р (Ā ₁)× Р (Ā ₂)×…× Р (Ā_n).

Следствие. Если событие А ₁, А ₂, …, А_n имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий:

Р (А) = 1 – qⁿ,

где q – вероятность противоположного события.

Пример. В типографии имеется 3 машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина.

Решение. Событие А – машина работает, противоположное событие Ā – машина не работает. Эти события образуют полную группу.

p + q = 1, q = 1 – p = 0,2, Р (А) = 1 – qⁿ = 1 – 0,2³ = 0,992.

Дата добавления: 2014-01-07