Теорема умножения вероятностей

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких парно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример. Если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А + В – попадание при первом выстреле, или при втором выстреле, или в обоих выстрелах.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящие в появлении события А, или событии В, или обоих этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Р (А ₁ + А ₂ + … + А_n) = Р (А ₁) + Р (А ₂) + … + Р (А_n).

Пример. В урне 20 шаров: 8 красных, 6 синих, 6 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного Р (А) = 8/20 = 2/5, синего Р (В) = 6/20 = 3/10. События А и В несовместимы, по теореме сложения

Р (А + В) = 2/5 + 3/10 = 7/10.

Пример. В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 руб, на 10 билетов – выигрыш по 100 руб, на 80 билетов – 20 руб, на 100 билетов – 8 руб, остальные невыигрышные. Найти вероятность выигрыша не менее 20 руб при покупке 1 билета.

Решение. Событие А – выиграть не менее 20 руб. Событие A может осуществиться, если наступит одно из несовместных событий: А ₁ – выигрыш 20 руб, А ₂ – 100 руб, А ₃ – 500 руб. События несовместимы, следовательно, А = А ₁ + А ₂ + А ₃. По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р (А) = Р (А ₁) + Р (А ₂) + Р (А ₃) = 50/1000 + 10/1000 + 1/1000 = 0,061.

Теорема. Сумма вероятностей событий А ₁, А ₂, …, А_n образующих полную группу, равна единице:

Р (А ₁) + Р (А ₂) + … + Р (А_n) = 1.

Пример. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,15, во вторую – 0,23, в третью – 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение. Событие А – промах, противоположное событие Ā – попадание.

Событие Ā может осуществиться, если наступит одно из несовместных событий: А ₁ – попадание в первую зону, А ₂ – во вторую, А ₃ – в третью. События несовместимы, следовательно Ā = А ₁ + А ₂ + А ₃. По теореме сложения:

Р (Ā) = 0,15 + 0,23 + 0,17 = 0,55.

Событие А и Ā образуют полную группу, следовательно, Р (А) = 1 – Р (Ā) = 0,45.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р (А) + Р (Ā) = 1.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Пример. Если А – деталь годная, В – деталь стальная, то АВ – деталь годная и стальная.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример. Если А, В и С – появление ''герба'' в первом, во втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение ''герба'' во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью Р_А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило и выражается по формуле

Р_А (В) = Р (АВ)/ Р (А).

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (AB) = Р (А)× Р_А (В).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р (А ₁× А ₂×…× А_n) = Р (А ₁)× Р_{А 1}(А ₂)× Р _{А 1 А 2}(А ₃)×…× Р_{А 1 А 2… А n-1}(А_n).

Для трех событий Р (АВС) = Р (А)× Р_А (В)× Р_АВ (С). Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым

Р (АВС) = Р (А)× Р_А (В)× Р_АВ (С) = Р (B)× Р_B (A)× Р_ВA (С) = Р (C)× Р_C (В)× Р_CВ (A).

Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Событие А ₁ – извлечение белого шара при первом испытании, А ₂ – извлечение белого шара при втором испытании. Эти события совместны, следовательно извлечение двух белых шаров А = А ₁× А ₂. Всего в урне 5 шаров. Вероятность извлечение белого шара при первом испытании Р (А ₁) = 2/5, вероятность извлечение белого шара при втором испытании при условии, что при первом испытании был извлечен белый шар Р_{А 1}(А ₂) = 1/4. По теореме умножения совместных событий Р (А) = Р (А ₁ А ₂) = Р (А ₁) Р_{А 1}(А ₂) = (2/5)×(1/4) = 0,1.

Дата добавления: 2014-01-07