Интегральная теорема Лапласа. Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n (k ₁, k ₂) того, что событие A появится в n испытаниях от k ₁ до k ₂ раз (k ₁ £ m £ k ₂), приближенно равна определенному интегралу:

, где ; .

Интегральную теорему Лапласа иногда записывают в форме

.

При решении используют таблицу для функции .

= Ф (x ₂) – Ф (x ₁), где ; .

Функция Ф (x) нечетная: Ф (– x) = – Ф (x).

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Решение.

а) По условию k ₁ = 70, k ₂ = 80. Тогда

, ,

.

Значение функции Лапласа находим по таблице приложения 2. В таблице даны значения Ф (1,15) = 0,3749 и Ф (1,16) = 0,3770. В качестве ответа можно взять любое из этих значений или их среднеарифметическое:

P ₁₀₀(70;80)» 2Ф(1,1547)» 2(Ф(1,15) + Ф(1,16))/2 = 0,7519.

б) По условию k ₁ = 0, k ₂ = 70. Тогда

, x ₂» –1,1547,

P ₁₀₀(0;70)» Ф (x ₂) – Ф (x ₁) = Ф (–1,1547) – Ф (–17,32) = Ф (17,32) – Ф (1,1547).

Значение функции Лапласа находим по таблице приложения 2:

P ₁₀₀(0;70)» 0,5 – 0,37595 = 0,12405.

Дата добавления: 2014-01-07