Среднее квадратическое отклонение

Свойства дисперсии

Дисперсия дискретной, случайной величины

Отклонение случайной величины от её математического ожидания.

Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Пусть закон распределения случайной величины X известен:

Рассмотрим отклонение случайной величины Х от её математического ожидания Х - М (X). Это отклонение имеет следующий закон распределения:

X – M (X)

x 1 – M (X)

x 2 – M (X)

…

xn – M (X)

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М (Х – М (X)) = 0.

Поскольку математическое ожидание отклонения равно нулю, то для определения степени рассеивания случайной величины вокруг её математического ожидания выделяют среднее значение квадрата отклонения.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D (X) = M [(x - M (X))²].

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:

D (X) = M (X ²) - (M (X))².

1) Дисперсия постоянной величины С равна 0:

D (С) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (CX) = С ² D (X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин:

D (X + Y) = D (X) + D (Y).

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин:

D (X - Y) = D (X) + D (Y).

Пример. Найти дисперсию случайных величин, зная закон её распределения:

Х	0,1
Р	0,4	0,2	0,15	0,25

Решение. Найдем математическое ожидание случайной величины X:

М (X) = 0,1×0,4 + 2×0,2 + 10×0,15 + 20×0,25 = 0,04 + 0,4 + 1,5 + 5 = 6,94.

Найдем математическое ожидание случайной величины X ²:

М (X ²) = 0,1²×0,4 + 2²×0,2 + 10²×0,15 + 20²×0,25 = 0,004 + 0,8 + 15 + 100 = 115,804.

Найдем дисперсию:

D (X) = M (X ²) – (M (X))² = 115,804 – (6,94)² = 67,6404.

Теорема. Дисперсия числа появление события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна

D (X) = n × q × p.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

размерность s (X) совпадает с размерностью Х.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно:

.

Пример. Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p ₁ = 0,4, p ₂ = 0,5, p ₃ = 0,6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа отказавших приборов.

Решение. Вероятность того, что ни один прибор не откажет:

Р (0) = q ₁× q ₂× q ₃ = 0,6×0,5×0,4 = 0,12.

Вероятность того, что один прибор откажет:

Р (1) = p ₁× q ₂× q ₃ + q ₁× p ₂× q ₃ + q ₁× q ₂× p ₃;

Р (1) = 0,4×0,5×0,4 + 0,5×0,6×0,4 + 0,6×0,5×0,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38.

Вероятность того, что два прибора откажут:

P (2) = p ₁× p ₂× q ₃ + p ₁× q ₂× p ₃ + q ₁× p ₂× p ₃;

P (2) = 0,4×0,5×0,4 + 0,5×0,6×0,4 + 0,5×0,5×0,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38

Вероятность того, что три прибора откажут:

P (3) = p ₁× p ₂× p ₃ = 0,5×0,6×0,4 = 0,12.

Проверка: P = 0,12 + 0,38 + 0,38 + 0,12 = 1.

Запишем закон распределения числа отказавших приборов:

Х
Р	0,12	0,38	0,38	0,12

Найдем математическое ожидание случайной величины X:

М (X) = 0 + 0,38 + 0,76 + 0,36 = 1,5.

Найдем математическое ожидание случайной величины X ²:

М (X ²) = 0 + 0,38 + 1,52 + 1,08 = 2,98.

Найдем дисперсию:

D (X) = M (X ²) - (M (X))² = 2,98 – 2,25 = 0,73.

ГЛАВА 7. Функция распределения вероятностей

Дата добавления: 2014-01-07