Биномиальное распределение. Дискретная с.в.Х имеет биномиальное распределение ( или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0,1,2,3, n с вероятностями

Дискретная с.в.Х имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0,1,2,3,… n с вероятностями ,

С.в.Х распределена по биномиальному закону, если она подчиняется схеме Бернулли. (Напомним схему Бернулли: Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность не появления q=1-p). Тогда число наступлений события А в n испытаниях и есть случайная величина Х.)

Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Т.о., 1-ый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; 2-ой член определяет вероятность наступления события n -1 раз;…; последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Ряд распределения д.с.в.Х, имеющий биномиальное распределение, имеет вид:

X=k				…	k	…	n
P				…		…

Правильность разложения контролируют:

Числовые характеристики

· математическое ожидание:

В предыдущей лекции был сделан вывод: м.о. числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события: . Биномиальную с.в.Х можно представить как сумму с.в. , каждая из которых описывает число положительных исходов в одном испытании. Тогда, воспользовавшись свойством суммы м.о.

(М(Х+У)=МХ+МУ), получим

.

Итак, .

· дисперсия:

Дисперсия числа появлений события в одном испытании .

Поскольку биномиальная с.в. и D(X+Y)=DX+DY, то Итак, . Значит, .

Пример: Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования. Найти м.о., дисперсию и с.к.о. невозврата кредитов, а также вероятность попадания в интервал .

Дата добавления: 2014-01-07