Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Способ вычисления поверхностного интеграла второго рода

Пусть требуется вычислить криволинейный интеграл , когда функции непрерывны на поверхности S. Поверхность S задана параметрически: , где функции имеют непрерывные в прямоугольнике частные производные первого порядка, причем . Разобьем прямоугольник значений параметров на прямоугольники , . Соответственно такому разбиению прямоугольника параметров мы получим разбиение поверхности S на фрагменты . Выберем . Тогда на каждом фрагменте мы получим точку . Используем то, что , где – единичный вектор нормали к поверхности в точке . Согласно известной формуле для получения вектора нормали к поверхности, заданной параметрически, получим: – вектор нормали к поверхности S в точке , где знаки + или – выбираются в зависимости от выбора стороны поверхности. Для того, чтобы получить единичный вектор , следует поделить вектор на его длину, равную . Теперь, учитывая, что ,

где , имеем

 

 

Переходя к пределу, получим формулу сведения поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу по области значений параметров:

Выбор знаков + или – определяется выбором стороны поверхности.

 

П р и м е р ы.

 

1. Вычислить , где S – внешняя сторона эллипсоида .

 

Р е ш е н и е. Параметризуем уравнение эллипсоида с помощью обобщенных сферических координат: , . Вычислим соответствующие якобианы:

. Чтобы определить, какой знак нужно будет выбрать, обратим внимание на то, что внешняя нормаль к эллипсоиду в тех точках, где , то есть, , имеет положительную проекцию на ось OZ. Это означает, что третья координата вектора нормали при должна быть положительной. В нашем случае при , следовательно, найденные якобианы являются координатами вектора нормали именно к внешней стороне эллипсоида, и менять знак у интеграла не придется. Таким образом,

.

 

2. Найти поток вектора через сферу .

Р е ш е н и е. Параметризуем поверхность:

Так как , нам для вычисления потока через параметризованную поверхность необходимо подсчитать якобианы, чтобы перейти в интеграле к переменным и . Имеем . Поэтому вычисление потока сводится к вычислению интеграла с применением MAXIMы.

 

3. Вычислить поток вектора через боковую поверхность цилиндра .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Поверхностный интеграл второго рода | Связь криволинейного интеграла второго рода по замкнутой кривой в пространстве с поверхностным интегралом. Формула Стокса
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 629; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.