I. Экстремумы функции двух переменных

Лекция 7.

Определение. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство

.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Пусть точка есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

, .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими точками.

Достаточное условие экстремума. Пусть – критическая точка функции . Функция имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка.

Обозначим: , , , .

1) Если , то в точке функция имеет экстремум, причем, если − минимум, если − максимум.

2) Если , то в точке функция экстремума не имеет.

3) Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Дата добавления: 2014-01-07