Штік интегралда айнымалыларды алмастыру формуласы

.

.

Немесе ретімен де интегралдауға болады:

Міне, осылай ретін алмастырсақ, жалпы алты рет алмастырып есептеуге болады, яғни үш еселі интегралдың мәні ретін ауыстырудан тәуелсіз болатындығын көреміз.

б) тектес денеде интегралдау.

облысының жазықтығына түсірілген проекциясы болсын, облысының үстінгі және астыңғы шекаралары және

болсын, интегралдық қосындыны тапқанда х, у - тердің өзгермеуін қамтамасыз етіп, бойынша қосып алғаннан кейін жазықтықтағы облыс бойынша қосамыз, сонда келесідей болады:

,

мұндағы, .

Егер облысы осіне қарағанда дұрыс облыс болса, яғни онда

.

Мысалы, интегралын есептеңіз, мұндағы жазықтығы және координаталар жазықтықтарымен шенелген облыс.

Шешуі. - ның жазықтығына түсірілген проекциясы :，болады, ал - ның үстіңгі және астыңғы беттері сәйкесінше және Сонда

.

15-дәріс. Еселі интегралдар

Полярлық координаталар жүйесінде қос интегралды есептеу

Егер шектелген тұйық облысының шекара сызығын полярлық координаталар жүйесіндегі теңдеуімен жазу ыңғайлы болса, сонымен қатар интегралданатын функциясы да полярлық координатамен жеңіл жазылса, онда полярлық координаталар жүйесінде қос интегралды есептеу мәселесін қарастырамыз.

Егер жазықтығындағы облысының әрбір нүктесі жазықтығындағы облысының сәйкес нүктесіне (және керісінше)

өрнектері арқылы сәйкес бейнеленсе, онда қос интегралдағы айнымалыларды ауыстыру формуласы былай жазылады:

мұндағы

Якобиан немесе Якоби анықтауышы деп аталады. Полярлық координаталарға көшу формуласы

Полярлық координаталар жүйесінің полярлық нүктесі мен полярлық өсі тік бұрышты координаталар жүйісінің бас нүктесімен өсінің оң жарты өсімен сәйкестікте болғанда, келесідей координаталар алмастыруларын енгіземіз:

，.

Сонда интегралданатын функция , ал аудан элементі болады, яғни

.

Жоғарыдағы өрнектің оң жағындағы қос интегралды есептеу мәселесі екі еселі интегралды есептеуге келтіріледі. Полярлық координаталар жүйесіндегі интегралдау облыстары үшін қос интегралды есептеудің үш түрлі жағдайын қарастырамыз.

Бірінші жағдай. Полярлық нүкте интегралдау облысы - ның сыртында болсын.

Онда облысын ， теңсіздіктері арқылы жазамыз. Сонда полярлық координаталар жүйесіндегі қос интеграл төмендегідей екі еселі интегралға айналады:

.

Екінші жағдай. Полярлық нүкте интегралдау облысы - ның шекарасында болсын.

Онда облысын ，теңсіздіктері арқылы жазамыз. Сонда полярлық координаталар жүйесіндегі қос интеграл төмендегідей екі еселі интегралға айналады:

.

Үшінші жағдай. Полярлық нүкте интегралдау облысы - ның ішінде болсын.

Онда облысы қисығымен қоршалады да полярлық нүкте - ның ішкі бөлігінде болады, әрі оны ， теңсіздіктері арқылы жазамыз. Сонда полярлық координаталар жүйесіндегі қос интеграл төмендегідей екі еселі интегралға айналады:

.

Ескерту. Жоғарыда айтылған және теңдеулерінің барлығы қисықтың полярлық координаталар жүйесіндегі теңдеулері болғандықтан, интегралдау облысы - ның шекарасы тік бұрышты координаталар жүйесіндегі теңдеулерімен берілген кезде, алдымен қисықтың теңдеуін полярлық координата теңдеуіне (теңдеудегі х, у - терді сәйкесінше - ларға ауыстырып ықшамдасақ болғаны) айналдырып, содан кейін есептеуге сай келетін формуламен қос интегралды есептейміз.

Мысалы, қос интегралын есептеңіз. Мұндағы, интегралдау облысы сақина тәрізді облыстың бір бөлігі, яғни, , , .

Шешуі.Интегралдау облысы суретте көрсетілген түрде болады.

Интегралдау облысы тікбұрышты координаталар жүйесіндегі 7.9-суретте көрсетілгендей және дөңгелек теңдеулері, олар полярлық координаталар жүйесінде сәйкесінше және болады. Сонда полярлық координаталар жүйесінде интегралдау облысы келесі түрде жазылады:

，.

Олай болса формула бойынша

.

Үштік интегралды есептеудеайнымалыларынан жаңа айнымалыларына көшу функциялары арқылы өрнектелсін. Бұл функциялары бірінші дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болып, жазықтығының облысының әрбір нүктесін, жазықтығының облысының әрбір нүктесіне өзара бір мәнді бейнелесе, үштік интегралдағы айнымалыны ауыстыру келесі түрде жазылады:

,

мұндағы, анықтауышы якобиан деп аталады.

Аталған алмастыруымызды келесідей айтуға да болады:

үштік интегралына төмендегідей ауыстырулар жасалық:

, ,

әрі бұл алмастыруымыз оң болсын деп жориық, онда ол келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

1) арасында бір мәнді сәйкестік бар;

2) функцияларының - да - лар бойынша үзіліссіз дербес туындылары бар болады, әрі оған кері болатын бейнелеуі - да - тер бойынша үзіліссіз дербес туындылары бар болады;

3) түрлендіруінің якобианы

болады, ал ол - да нөльден өзгеше болады, сондықтан келесі теңдік орындалады:

Дата добавления: 2014-01-07