Подпространства

Определение. Непустое подмножество линейного пространства называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определённым в операциям сложения и умножения на число. Иначе говоря, есть подпространство, если из следует, что при любых и .

Определение. Подпространство, отличное от и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

Пример 1. Пусть - какое-либо линейное пространство и - некоторый его ненулевой элемент. Совокупность элементов , где пробегает все числа (соответственно действительные или комплексные), образует, очевидно, одномерное подпространство. Оно является собственным, если размерность больше 1.

Пример 2. Рассмотрим пространство непрерывных функций и в нём совокупность всех многочленов . Ясно, что многочлены образуют в подпространство (имеющее, как и всё , бесконечную размерность). В то же время само пространство можно рассматривать как подпространство более обширного пространства всех, непрерывных и разрывных, функций на .

Пример 3. Рассмотрим, наконец, пространства и . Каждое из них является собственным подпространством последующего.

Пусть - произвольное непустое множество элементов линейного пространства . Тогда в существует наименьшее подпространство (быть может, совпадающее с), которое содержит .

Действительно, по крайней мере одно подпространство, содержащее , в существует: это всё . Далее ясно, что пересечение любого множества подпространств есть снова подпространство. В самом деле, если и , то и при всех .

Возьмём теперь все подпространства, содержащие систему векторов , и рассмотрим их пересечение. Это и будет наименьшее подпространство, содержащее систему .

Определение. Такое минимальное подпространство назовём подпространством, порождённым множеством , или линейной оболочкой множества . Мы будем обозначать это подпространство .

Определение. Линейно независимая система элементов линейного пространства называется базисом (Гамеля), если её линейная оболочка совпадает с .

[1] Неравенство Коши — Буняковского вытекает из тождества

,

которое проверяется непосредственно

[2] Это неравенство может быть получено, например, из легко проверяемого тождества

Дата добавления: 2014-01-07