Циліндричні поверхні

Нехай задано просторову криву γ: і вектор` t = (m,n,p) (` t¹ `0).

Циліндрична поверхня (циліндр) це поверхня, утворена всіма прямими, що паралельні до даного вектора і перетинають дану просторову криву γ. Прямі називають твірними циліндра, криву γ називають напрямною циліндра. Назва кривої γ визначає назву циліндра. Так є коловий циліндр, еліптичний циліндр, параболічний циліндр і т.п.

` t

γ М₀

Виведемо рівняння циліндра. Візьмемо будь-яку точку М₀(х₀,y₀,z₀) на кривій γ. Тоді F₁(х₀,y₀,z₀)=0, F₂(х₀,y₀,z₀)=0. Складемо рівняння твірної циліндра, що проходить через точку М₀: , t Î ℝ.

З останніх трьох рівнянь виразимо х₀,y₀,z₀ через t і підставимо в обидва попередні рівняння: , F₁(x-mt,y-nt,z-pt)=0, F₂(x-mt,y-nt,z-pt)=0. З одного з двох останніх рівнянь можна виразити t через x,y,z і підставити його в друге. Отримаємо одне рівняння: G(x,y,z)=0. Це і буде шукане рівняння циліндричної поверхні.

Теорема (про неповне рівняння). Якщо у рівнянні поверхні немає змінної z, то це рівняння циліндричної поверхні паралельної до осі Oz і напрямна цієї поверхні в площині Oxу має таке ж рівняння як поверхня: γ: .

Доведення. F(x,y)=0 — поверхня. В площині Oxу – це рівняння якоїсь кривої. Нехай точка М₀(х,у,0) лежить на цій кривій. Оскільки змінна z не входить в рівняння, то також точки з координатами М(х,у,z), при будь-якому z, задовольняють рівняння поверхні. Отже, це – циліндр, з твірними паралельними до осі Оz.

Аналогічні твердження справедливі для рівнянь без змінної у чи без х.

Дата добавления: 2014-01-07