Конічні поверхні

Циліндри другого порядку

-- еліптичний циліндр.

-- гіперболічний циліндр.

-- параболічний циліндр (зображено на малюнку).

Конічна поверхня (конус) це поверхня, утворена прямими, що сполучають дану точку S із точками даної просторової кривої γ. Точка S називається вершиною конуса, крива γ називається напрямною конуса, і назва кривої γ визначає назву конуса. Так є коловий конус, еліптичний конус, параболічний конус і т.п.

Складемо рівняння конуса. Нехай γ: -- напрямна конуса і S(a,b,c)– вершина конуса. Візьмемо будь-яку точку М₀(х₀,y₀,z₀) на кривій γ.

Тоді F₁(х₀,y₀,z₀)=0, F₂(х₀,y₀,z₀)=0. Cкладемо рівняння прямої SM₀:

Із чотирьох рівнянь треба виключити змінні х₀,y₀,z₀. Отримаємо одне потрібне рівняння: G(x,y,z)=0.

Приклад. Еліптичний конус. Нехай напрямна конуса – еліпс в площині z=с, з рівняннями γ: , вершина конуса – початок координат О(0,0,0). Скласти рівняння конуса.

М₀(х₀,y₀,z₀) Îγ і рівняння прямої ОМ₀: .

З останніх рівнянь виразимо х₀,y₀: (Враховано, що з першого рівняння z₀=c.). Підставимо їх в друге рівняння: . Помножимо його на , отримаємо: -- рівняння еліптичного конуса.

Отже, еліптичний конус – це поверхня другого порядку.

Дата добавления: 2014-01-07