Лекція 9,10. Теоретико – множний підхід до побудови цілих невід‘ємних чисел

Сумоюцнч а і в називають число елементів в об‘єднанні неперетинаючихся множина і В. сума цнч завжди існує і єдина. Дія, при якій знаходять сума називається додаваня, а числа, які додають – доданками.

Сума трьох доданків визначається наступним чином: .

Закони додавання:

1. Комутативний (переставний) .

2. Асоціативний (сполучний) .

Наприклад, раціонально обчислити значення виразу 109+ 36 + 191 +64+27=ком. закон = 109+191 + 36+64 +27=ас. закон =(109+191)+(36+64)+27=300+100+27=ас. закон =(300+100)+27=400+27=427.

Мета: розглянути теоретико – множний підхід до дій над цілими невід‘ємними числами, законами, дій над числами. Пояснити застосування законів при розв‘язанні практичних задач. Закріпити вміння і навички студентів використовувати раціональний спосіб розв‘язання. Розвивати усний рахунок і пам‘ять студентів.

План:

1. Порівняння чисел.

2. Віднімання.

3. Множення, закони множення.

4. Ділення.

5. Ділення з залишком.

1. Порівняння.

Нагадаємо, що два числа і з теоретико – множної точки зору представляють собою кількість елементів множин. Два числа і - рівні, якщо вони визначаються рівносильними множинами: = , якщо А=В при і .

Якщо число при рахунку називають раніше числа , то і навпаки. Якщо множина А рівносильна власній підмножині В, то кажуть що при і .

Число тоді і тільки тоді, коли існує таке число с, що

2. Віднімання.

Задача: «Коло школи росли 8 дерев – тополь і беріз. Беріз 3, а скільки тополь?».

Різницею чисел і називають число елементів доповнення множини В до множини А.

, де і , .

Різницею чисел і називають таке число с, сума якого з числом дає число . .

Дія за допомогою якої знаходять різницю називається відніманням, а компоненти: зменшуване, від‘ємник, різниця.

Різниця чисел і існує тоді і тільки тоді, коли . Вірність даної операції перевіряється додаванням. Якщо різниця існує, то вона єдина.

В початковій школі спочатку віднімання чисел розглядається на основі практичних вправ, пов’язаних з виділенням підмножини заданої множини і утворенням нової множини – доповнення виді ленної підмножини.

Відношення «більше на», «менше на».

Який зміст цих відношень? Припустимо, що числа і знаходяться в відношенні менше. це значить, що в множині В можна виділити власну підмножину С, а кількість елементів доповнення В/С дорівнює с. В цьому випадку кажуть, що число менше числа на с або число більше числа на с. значить, щоб дізнатися, на скільки одне число менше чи більше іншого, потрібно з більшого числа відняти менше. Наприклад, «У школи посадили 4 дуба і 9 лип. На скільки більше посадили лип?» і «Коло школи посадили 4 дуба, а лип на 5 більше. Скільки лип посадили?».

Правила віднімання числа з суми і суми із числа:

· Щоб відняти число від суми, достатньо відняти його з одного з доданків і до отриманого результату додати інший доданок: а) якщо , то , б) якщо , то .

· Щоб відняти від числа суму чисел, достатньо відняти від цього числа послідовно доданки: .

3. Множення.

Задача: «На кожне дитяче пальто потрібно пришити по 4 ґудзика. Скільки ґудзиків знадобиться для 6 пальт?».

Добутком чисел і називається таке число с=, яке задовольняє умовам:

1) (раз) при 1.

2)

3) .

Дія за допомогою якої знаходять добуток чисел називається множенням, а компоненти: перший множник, другий множник, добуток.

Добуток чисел і можна розглядати як кількість елементів декартового добутку множин А іВ.

Добуток існує і тільки один.

Закони множення:

Комутативний (переставний)- ,

Асоціативний (сполучний)- ,

Дистрибутивний (розподільний) по відношенню до додавання і по відношенню до віднімання .

Наприклад, користуючись законами множення обчислити значення виразу: .

4. Ділення.

Припустимо і множина А розбита на підмножини, які не перетинаються. Якщо - число підмножин в розбитті множини А, то часткою чисел і називають число елементів кожної підмножини. Наприклад, «8 апельсинів розклали по 2 на кожну тарілку. Скільки знадобиться тарілок?». Якщо - число елементів кожної підмножини в розбитті множини А, то часткою чисел і називають число підмножин в розбитті. Наприклад, «12 олівців роздали 3 учням порівну. Скільки олівців отримав кожний?».

Дія за допомогою якої знаходять частку називають ділення, а компоненти: ділене, дільник, частка.

Правильність ділення перевіряється множенням.

Ч асткою чисел і називається число с=, добуток якого з числом дорівнює : .

Щоб частка існувала необхідно, щоб . Якщо частка існує, то вона єдина. На нуль ділити не можна.

Щоб знати, у скільки разів одне число більше за інше, необхідно більше число поділити на менше. Наприклад, «У Каті 6 зошитів, а у Дмитра в два рази менше. Скільки зошитів у Дмитра?» і «Купили 3 парти і 12 стільців. У скільки раз менше купили парт, ніж стільців?».

Правило ділення суми на число: якщо числа і діляться на число с, то їх сума ділиться на число с; частка, яку отримують при діленні суми +на число с, дорівнює сумі часток, які отримують при діленні числа на с і числа на с: .

Правило ділення числа на добуток: якщо число ділиться на числа і с, то щоб поділити число на добуток , достатньо поділити число на число або на число с і отриману частку поділити на число с або на число . .

Правило добутку числа на частку: щоб помножити число на частку чисел, достатньо помножити це число на ділене і отриманий добуток поділити на дільник: .

5. Ділення з залишком.

Число 37 на 8 не ділиться, але існують такі числа 4 і 5, що . Поділити число з залишком на інше число – це значить знайти такі цілі невід‘ємні числа і , що . Залишок обов‘язково має бути меншим дільника.

Дата добавления: 2014-01-07