Скінченні поля на базі кілець многочленів

Скінченні поля будуються з кілець многочленів так само, як вони будувалися з кілець класів лишків.

Означення. Для довільного зведеного многочлена ненульового степеня над полем кільцем многочленів за модулем називається множина всіх многочленів над цим полем, степені яких не перевищують степеня самого многочлена, з операціями додавання і множення многочленів за модулем. Позначають.

Довільний елемент з кільця відображається в елемент кільця за допомогою функції, де – остача від ділення многочлена на модуль. Два елементи і з кільця, що відображаються в один й той самий елемент з кільця, будуть конгруентними:

.

(тоді для деякого многочлена)

Приклад 12. Побудувати кільце многочленів за модулем над полем.

Розв’язання. Кільце многочленів за модулем складається з усіх многочленів над полем, степінь яких – не вище 2, тобто з елементів

.

У цьому кільці множення виконується, наприклад, таким чином:

,

де враховано, що у полі.

Кільце класів лишків цілих чисел за модулем утворює поле тільки коли, де – просте число. Так само, кільце утворює поле тільки коли многочлен – незвідний.

Теорема (необхідна і достатня умова перетворення кільця многочленів на поле). Кільце многочленів за модул ем буде полем тоді і тільки тоді, коли многочлен – нормований і незвідний.

Якщо над полем Галуа знайдено нормований незвідний многочлен степеня, то на основі викладеної теорії можна побудувати поле Галуа, елементи якого зображуються многочленами над степенів не вище. Всього існує таких многочленів, тому і поле буде складатися з елементів.

Приклад 13. Побудувати поле як поле многочленів за модулем многочлена над полем.

Розв’язання. Многочлен є незвідним над полем, тому що він другого степеня і не має коренів в даному полі. Поле многочленів за цим модулем складається з елементів: 0,1,,, які також визначені над полем і степені яких менші за степінь многочлена. Для побудови таблиць Келі для елементів поля виконаємо операції додавання і множення над його елементами і у разі необхідності зведемо результати за модулем. Дістанемо такі таблиці:

+

Після побудови таблиць можна замінити позначення елементів через многочлени на двійкові, цілочислові або інші бажані позначення.

Позначення елементів поля за допомогою

Многочленів	Двійкових чисел	Цілих чисел	Степенів

Зауваження. Одним з способів перевірки незвідності многочленів, які використовуються як модулі для побудови скінченних полів, є метод спроб і помилок, хоча безпосередня перевірка всіх можливих розкладань многочленів високих степенів ускладнена. На практиці застосовують готові таблиці незвідних многочленів над різними скінченними полями.

Приклад 14. Елементи поля Галуа – двійкові послідовності довжиною бітів, зручно розглядати у вигляді многочленів. Наприклад, байт з 8 бітів 10010101 можна зобразити многочленом.

Дата добавления: 2014-01-07