Правило сложения дисперсий

Пример.

Таблица 6.2

Количество изделий, шт.	Число рабочих
			2,16	4,32
			1,16	5,80
			0,16	1,44
			0,84	4,20
			1,84	7,36
Итого			-	23,12

6.2. Дисперсия и её свойства

Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается S². В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться простая или взвешенная:

Свойства дисперсии:

1.Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

2.Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз k соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в k раз.

4.Дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней:

Пример. Имеются данные о распределении магазинов по объёму товарооборота.

Таблица 6.3

Объем товарооборота, млн.руб.	Количество магазинов			^2	^2
До 1			-4,89	23,91	95,64
1-3			-3,39	11,49	34,47
3-5			-1,39	1,93	9,65
5-7			0,61	0,37	4,07
7-9			2,61	6,81	54,48
Свыше 9			4,61	21,25	42,50
Итого			-	-	240,81

Определить дисперсию.

Решение. Рассчитаем дисперсию двумя способами:

1) по формуле

2) по формуле

Таблица 6.4

Объем товарооборота, млн.руб.	Количество магазинов		^2	^2
До 1			0,25
1-3
3-5
5-7
7-9
Свыше 9
Итого			-

(Небольшое расхождение связано с округлением в расчетах).

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Оно представляет собой корень квадратный из дисперсии и выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

Среднее квадратическое отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение взвешенное:

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Если совокупность разбита на группы по какому-либо факторному признаку x и по каждой группе рассчитаны групповые средние и дисперсии результативного признака, то можно определить три показателя вариации: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий данной совокупности:

где - общая средняя изучаемого показателя.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого показателя, которая возникает под влиянием факторного признака, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию групповых (частных) средних около общей средней:

где – средняя в i -й группе.

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе.

где - число единиц в каждой группе.

Данные три дисперсии образуют систему:

На основе правила сложения дисперсий рассчитывают эмпирические показатели тесноты зависимости вариации результативного показателя от вариации факторного признака.

Отношение межгрупповой дисперсии к общей называется эмпирическим коэффициентом детерминации:

Корень квадратный из него – эмпирическое корреляционное отношение:

Данный показатель меняется от 0 до 1. Чем он ближе к 1, тем теснее взаимосвязь между изучаемыми показателями.

Пример. По данным таблицы 6.5 определитьобщую дисперсию розничного товарооборота, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Таблица 6.5

Торговая площадь, м^2,	Количество магазинов, ni	Средний объем розничного товарооборота, млн.руб.,	Среднее квадратическое отклонение розничного товарооборота, млн. руб.,
100-200		10,1	0,2
200-300		12,6	0,4
300-400		25,3	0,9
400-500		32,5	0,3

Решение. Сначала вычислим средний объем розничного товарооборота для всей совокупности:

Находим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Определяем межгрупповую дисперсию:

Общая дисперсия розничного товарооборота:

Коэффициент детерминации:

Эмпирическое корреляционное отношение:

что означает очень сильную зависимость вариации розничного товарооборота от торговой площади.

Если в совокупности исследуется доля единиц, обладающих тем или иным альтернативным признаком, дисперсия этой доли определяется по формуле:

где p – доля единиц, обладающих данным признаком;

q – доля единиц, не обладающих данным признаком.

Причём:

p + q = 1.

Пример. По данным таблицы 6.6 определить долю рабочих старше 50 лет в целом по пяти предприятиям и общую дисперсию долю.

Таблица 6.6

Предприятие	Число рабочих	Доля лиц старше 50 лет
		0,14
		0,12
		0,21
		0,17

Решение. Сначала находим общую среднюю долю:

Находим общую дисперсию по формуле:

Дата добавления: 2014-01-07