Общая характеристика стац. Состояний

Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Общий вид уравнения Шредингера от времени.

1920 г. Постулат.

(- ħ²/2m)*(∂² Ψ/∂x²) = i ħ (∂ Ψ/∂t) – для свободной мкч

Для трехмерного случая:

(- ħ²/2m)*(∂² Ψ/∂x² +∂² Ψ/∂y² +∂² Ψ/∂y² ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

В операторной форме:

- ħ²/2m * ∆ Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

t-независимая переменная

неизвестная функция Ψ(x,y,z,t)

С учетом силового поля:

E = T + U (x,y,z,t)

(- ħ²/2m)*(∂² Ψ/∂x²) + U(x,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

(- ħ²/2m)*(∂² Ψ/∂x² +∂² Ψ/∂y² +∂² Ψ/∂y² ) + U(x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

- ħ²/2m * ∆ Ψ + U(x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Решение - Ψ (x,y,z,t)

Состояние называется стационарным если | Ψ (x,y,z,t) |² = const

M(x,y,z)

U (x,y,z,t) = U (x,y,z)

E = p²/2m + U(x,y,z)

Система консервативна, тк сумма постоянна

По Гейзенбергу

∆E∆t >= ħ

∆E стремится к 0

∆t стремится к бесконечности

| Ψ |² = const

| Ψ (x,y,z,t) |² = const

Ψ (x,y,z,t) = e ^if(x,y,z,t) ψ (x,y,z)

Ψ(x,t) = A e^{–i/ ħ (Et –px)} удовлетворяет условию стацион.

Ψ (x,y,z,t) = e ^if(x,y,z,t) A e^{–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)}

ψ = A e^{–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)}

U (x,y,z,t) = U (x,y,z)

- ħ²/∂x² + U (x,y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ(x,t) = e^{–i/ ħ (Et)} ψ – функция стац состояния

∂ Ψ/∂x = e^{–(i/ ħ) E} ∂ ψ /∂x

∂ ²Ψ/∂x² = e^{–(i/ ħ)} ∂² ψ /∂x²

∂ Ψ/∂t = –(i/ ħ) E e^{–(i/ ħ) Et} ∂ ψ

(- ħ²/2m) e^{–(i/ ħ) Et} (∂² ψ /∂x²) + U (x,y,z) e^{–(i/ ħ) Et} ψ = i ħ–(i/ ħ) E e^{–(i/ ħ) Et} ψ

(- ħ²/2m) (∂² ψ /∂x²) + U (x,y,z) ψ = E ψ

Eпот не зависит от t

E = p²/2m – U(x,y,z)

ψ (x,y,z)

(- ħ²/2m) ∆ Ψ + U (x,y,z,t)Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Свободная мкч: (- ħ²/2m) ∆ Ψ = 0

(- ħ²/2m) ∂ ²Ψ/∂x² =E Ψ

E – Eкин

Решение: Ψ(x,t) = Ae^{–i/ ħ (Et -px)}

Дата добавления: 2014-01-07