Уравнение Шредингера и его решение

Движение мкч в свободном пространстве.

Собственные значения и собственные функции

Стандартные естественные условия

Начальные и граничные условия

Решить уравнения модно только зная начальные и граничные условия

(- ħ²/2m) ∆ Ψ + U (x,y,z,t)Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ (x,y,z,t) – решение

Ψ (x,y,z,0) – начальное условие при t=0

Ψ (x,y,z,t) →Ψ (x,y,z,0) здесь появляется принцип причинности О_о

В граничные условия входит Епот в явном виде

U (x,y,z,t)

Ψ (0,t) Ψ (e,t)

на пси функцию накладываются условия:

1.Пси функция непрерывна

2.однозначна

3.конечна – требование из условия нормировки (тройной интеграл от минус до плюс бесконечности) (|Ψ (x,y,z,t)|²dxdydz) = 1

(- ħ²/2m) ∆ ψ + U (x,y,z)ψ = E ψ

ψ₁ ψ₂ ψ₃ - собственные функции

E₁ E₂ E₃ - собственные значения E

Не все пси функции удовлетворяют этому условию

Имеем дискретный ряд, удовлетворяющий этому уравнению

Мкч может иметь только дискретный ряд значений энергии.

Уравнение шредингера содержит ключ квантования

Имеет смысл только в ограниченном пространстве

Для нерелятивистской: V<<C E_k = p²/2m – уравнение Ш. не учитывающее спин

Для релятивистской: V~C E_k = mC² – m₀C² – уравнение Дирака учитывающее спин

Глава 6. Применение квантовой механики.

U(x) = 0

Состояние стационарное

(- ħ²/2m) ( ∂² ψ /∂x² ) = E ψ

E = p²/2m

( d² ψ /dx² ) + (2m/ħ²) E ψ = 0

(2m/ħ²) E = k²

( d² ψ /dx² ) + k² ψ = 0

Ищем решение в виде ψ = e ^rx

( ∂ ψ /∂x ) = r ψ

( ∂² ψ /∂x² ) = r² ψ

r² ψ + k² ψ = 0

ψ!= 0

r² + k² = 0 => r = +- ik

ψ = A e ^ikx + B e ^–ikx

Дата добавления: 2014-01-07