Властивості густини розподілу

Властивість 1. Густина розподілу – невід’ємна функція: .

Доведення. Функція розподілу – не спадна функція, отже, її похідна – функція невід’ємна.

Геометрично ця властивість означає, що точки належачі графіку густини розподілу розташовані або над віссю , або на цій осі.

Графік густини розподілу називають кривою розподілу.

Властивість 2. Невласний інтеграл від густини розподілу в межах від до дорівнює одиниці .

Доведення. Невласний інтеграл відтворює ймовірність події складеної в тім, що випадкова величина отримає значення, що належить інтервалу . Отже, така подія достовірна і ймовірність її дорівнює одиниці.

Геометрично це означає, що вся площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю і кривою розподілу, дорівнює одиниці.

Зауваження. Якщо неперервна випадкова величина приймає значення тільки з інтервалу , то .

З диференціального числення відомо, що прирощення функції наближено дорівнює диференціалу функції, тобто

або

.

Оскільки і , то

.

Ймовірносний зміст цієї рівності такий: ймовірність того, що випадкова величина отримає значення належаче інтервалу наближено дорівнює (з точністю до нескінченно малих вищого порядку відносно ) добутку густини ймовірності в точці на довжину інтервалу .

Поняття математичного сподівання, дисперсії і середнього квадратичного відхилення поширюються і на неперервні випадкові величини. Якщо неперервна випадкова величина задана диференціальною функцією розподілу і приймає значення тільки з інтервалу , то

(7)

(8)

або

(8')

. (9)

Зауваження. Якщо неперервна випадкова величина приймає значення з інтервалу , то

(7')

. (8'')

У формулах (7') і (8'') передбачається, що невласні інтеграли існують.

Приклад 3. Випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу :

Знайти: 1) диференціальну функцію розподілу ; 2) ймовірність попадання можливих значень величини в інтервал ; 3) побудувати графіки функцій і .

Дата добавления: 2014-01-07