Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вектор кутової швидкості. Формула Ейлера

Леонард Ейлер (1707-1783) – видатний швейцарський вчений, який довгий час працював у Росії (1727-1741 і 1766-1783) і Германії (1741-1766). До його пера належать біля 850 наукових праць, з яких 550 були опубліковані. Найбільш відомі наступні його роботи:

· "Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично" (1736);

· "Вступ до аналізу" (1748);

· "Диференціальне числення" (1755);

· "Теорія руху твердого тіла" (1765);

· "Універсальна арифметика" (1768-1769);

· "Інтегральне числення" (1768-1794).

 

Нехай маємо тіло, що обертається з кутовою швидкістю (див. рис. 2.6). Зв'яжемо жорстко з цим тілом систему координат . Визначимо швидкість точки тіла, для чого з'єднаємо її з початком координат радіус-вектором , тоді

.

Розкладемо радіус-вектор за ортами системи координат :

. (2.16)

Продиференціюємо вираз (2.16), врахувавши, що координати та орт - сталі, а змінними у часі є орти :

.   (2.17)

Рис. 2.6. До виводу формули Ейлера.

Знайдемо похідні і . Зауважимо, що - це швидкість точки кінця орта , яка окреслює годограф орта , тобто

(оскільки до осі )

тоді

.   (2.18)

Аналогічно

(),

тобто

.   (2.19)

В цьому разі маємо

. (2.20)

Врахуємо, що орти легко виражаються один через другий:

.

Підставляючи ці співвідношення у формулу (2.20), отримаємо:

,

або

, (2.21)

де

. (2.22)

 

Висновок: із формули (2.22) випливає, що кутова швидкість - це вектор, який лежить на осі обертання і напрямлений у ту частину простору, звідки обертання тіла видно як таке, що відбувається проти ходу годинникової стрілки.

 

Тоді маємо співвідношення

, (2.23)

яке являє собою формули Ейлера. У проекціях на осі системи координат цю формулу у загальному випадку можна записати так:

.     (2.24)

У разі, коли вісь - нерухома (), маємо:

Визначимо вектор кутового прискорення

.

Вектор напрямлений по дотичній до годографа вектора . А оскільки у даному разі годографом вектора є сама вісь обертання, то вектор , як і , напрямлений по ній (див. рис. 2.7).

 

Рис. 2.7. До визначення напрямку вектора кутового прискорення.

 

Приклад. Виведемо рівняння рівнозмінного обертання тіла навколо осі.

 

У цьому випадку , але , тоді

.

Інтегруючи це рівняння за часом, отримаємо

.

Якщо при , то тоді , і маємо

(2.25)

- закон зміни кутової швидкості при рівнозмінному обертанні.

Далі, оскільки , то і, інтегруючи цей вираз за часом, отримаємо

.

Якщо при , то тоді , і отримаємо

.   (2.26)

- рівняння рівнозмінного обертання АТТ навколо нерухомої осі.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі | Об’єкти економіки

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 926; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.