Упражнения

1. Доказать, что для и -окрестность точки является областью. Определить .

2. Записать в виде неравенства область .

3. Пусть – кольцо с центром в точке . Является ли оно областью?

4. Следующие функции комплексного переменного записать в алгебраической форме:

а) Линейная: б)

5. Записать на языке :

а) ; б) ; в) .

6. Доказать теорему 1. Указание: воспользоваться равенством и неравенством .

7. Пусть и . Показать, что тогда последовательность .

8. Доказать, что для .

9. Доказать теорему 2.

10. Доказать необходимость условий Коши-Римана в теореме 3. Указание: существование предела (3) не зависит от способа стремления к нулю. Получить явное выражение для этого предела, когда , и вывести из полученных выражений условия Коши-Римана.

11. Доказать достаточность условий Коши-Римана в теореме 3. Указание: используя выражения приращений и через полные дифференциалы, записать приращение в виде

,

где и – бесконечно малые относительно функции. Далее воспользоваться условиями Коши-Римана при вычислении предела (3).

12. Доказать, что производная может быть вычислена по следующим формулам:

.

13. Доказать, что в любой точке функция (определение см. в упражнении 8) дифференцируема и .

Лекция 2. Аналитические функции и их свойства. Интеграл функции комплексного переменного. Интегральная теорема Коши.
Неопределенный интеграл. Формула Коши. Интеграл типа Коши.

Определение 4. Функция , определенная в некоторой области и имеющая в этой области непрерывную производную , называется аналитической в области .

Теорема 3, по существу, утверждает, что необходимым и достаточным условием аналитичности функции является существование и непрерывность в частных производных и , связанных условиями Коши-Римана.

Верны следующие свойства аналитических в функций:

1°. Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля) аналитических в функций есть функция аналитическая.

2°. Суперпозиция аналитических функций является аналитической функцией.

3°. Если в области определена аналитическая функция , причем и – область, то в существует аналитическая функция, , отображающая на и являющаяся обратной к , т.е. и . При этом .

4°. Пусть в области плоскости задана функция , являющаяся действительной частью аналитической функции. Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до константы.

Пусть на комплексной плоскости С задана кусочно-гладкая кривая , определяемая параметрическими уравнениями , где и – кусочно-гладкие функции действительного параметра . Пусть точки и являются концами кривой . При изменении параметра от к точка перемещается по кривой . Пусть далее – функция комплексного переменного, непрерывная на кривой . Разобьем кривую на n частичных дуг точками и определим сумму

, (4)

где – произвольная точка частичной дуги, лежащая между точками и .

Определение 5. Если при , где , существует предел сумм (4), не зависящий ни от способа разбиения кривой точками на частичные дуги, ни от выбора точек , то этот предел называется интегралом от функции по кривой , т.е.

. (5)

Свойства интеграла (5):

1°. ;

2°. (аддитивность);

3°. (линейность);

4°. ;

5°. , где – аналитическая функция, устанавливающая взаимнооднозначное соответствие между и . В частности,

(6)

6°. .

Формула (6) при удачно выбранном способе параметризации кривой используется для вычисления интеграла (5) функции по кривой .

Теорема 4 (Коши). Пусть в односвязной области D задана однозначная аналитическая функция . Тогда интеграл по любому замкнутому контуру , целиком лежащему в этой области, от функции равен нулю, т.е.

. (7)

Теорема 5. Если функция является аналитической в односвязной области D, ограниченной кусочно-гладким контуром , и непрерывна в , то верна формула (7).

Теорема 5 Коши допускает обобщение и на многосвязные области. Действительно, верна

Теорема 6. Пусть однозначная аналитическая функция в многосвязной области D, непрерывная в и D ограничена извне кусочно-гладким контуром , а изнутри кусочно-гладкими контурами . Тогда

.

Пусть – однозначная аналитическая функция, заданная в односвязной области D. Фиксируем некоторую точку и рассмотрим интеграл

, (8)

зависящий только от точки z, и не зависящий от пути интегрирования (см. упр. 24).

Теорема 7. Пусть функция аналитична в D. Тогда функция , определенная формулой (8), также аналитическая в D и для .

Определение 6. Функция , определенная формулой (8), называется неопределенным интегралом аналитической в области D функции .

Теорема 8 (формула Коши). Пусть функция аналитична в односвязной области D и -замкнутый, кусочно-гладкий контур без самопересечений, целиком лежащий в D. Тогда для любой точки , лежащей внутри контура , верна следующая формула Коши:

. (9)

Существует обобщение формулы Коши (9), которое называется формулой типа Коши. Сформулируем это утверждение без доказательства:

Пусть функция аналитична в D и непрерывна в . Тогда в области D у нее существует непрерывная производная любого порядка n, которая может быть вычислена в любой точке по формуле:

. (10)

Упражнения.

14. Доказать свойства аналитических функций 1º– 4º. Указание. Доказательство свойства 3º получается с помощью следующих рассуждений. Пусть . Тогда функции и задают отображение области двумерной плоскости на область плоскости . Это отображение невырождено, т.к. его якобиан (Проверить, используя условия Коши-Римана!). По теореме об обратном отображении функции и однозначно отображают . Наконец, полагаем . Для доказательства свойства 4º заметим, что

и восстанавливается с точностью до константы с помощью криволинейного интеграла 2-го рода.

15. Определить области аналитичности следующих функций комплексного переменного:

а) Многочлен ;

б) Тригонометрические: ;

в) Гиперболические: .

16. Проверить тождества:

17. Доказать свойства 1º-6º интеграла (5). Указание. Везде использовать соответствующее преобразование интегральных сумм (4).

18. Доказать эквивалентность утверждения, сформулированного в свойстве 4º, и определения 5 интеграла по кривой .

19. Вычислить , где и n – произвольное целое число.

20. Доказать теорему 4 (Коши). Указание. Воспользоваться свойством 4, приманить к каждому из полученных интегралов формулу Грина, а затем воспользоваться условиями Коши-Римана.

21. Доказать теорему 5. Указание. Точками разбить контур на частичные дуги. Соединить эти точки отрезками и доказать, что интегралы функции по замкнутой ломаной ,образованной этими отрезками, и контуру мало отличаются.

22. Пусть – односвязная область площади , ограниченная кусочно-гладким контуром . Доказать равенства:

а) ;

б) ;

в) .

23. Доказать теорему 6. Указание. Соединить внутренние контуры разрезами с внешним контуром , превратив область в односвязную. Применить теорему Коши к полученному сложному контуру и учесть, что отрезки разрезов при вычислении интеграла проходятся дважды.

24. Доказать утверждение: если однозначная аналитическая функция в области и – кусочно-гладкая душа без самопересечений, целиком содержащаяся в , то интеграл по дуге от функции не зависит от вида дуги, а только от взаиморасположения точек и .

25. Доказать теорему 7. Указание. Показать, что верно неравенство

,

так что для такое, что, если , то

.

26. Доказать, что все аналитические функции, являющиеся неопределенными интегралами аналитической функции , отличаются на константу.

27. Доказать формулу Ньютона-Лейбница:

,

связывающую понятия определенного и неопределенного интегралов для аналитических функций комплексного переменного.

28. Доказать формулу Коши (теорема 8). Указание. Пусть – окружность радиуса с центром в точке , целиком лежащая внутри контура . Показать, что

.

Далее доказать, что для такое, что верна оценка

.

29. Доказать, что в условиях формулы Коши, если дополнительно непрерывна вплоть до границы , то в формуле (9) за контур можно принять границу .

30. Доказать следующую формулу среднего значения аналитической функции :

.

Указание: Выбрать за контур окружность .

31. Доказать следующую теорему Морера: пусть непрерывна в односвязной области и интеграл от нее по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в , равен нулю. Тогда – аналитическая в . Указание. Показать, что утверждение теоремы 7 остается справедливым, если условие аналитичности заменить на ее непрерывность и равенство нулю интеграла по любому замкнутому контуру.

32. Доказать следующую теорему Лиувилля: пусть – аналитическая по всей комплексной плоскости и для . Тогда . Указание. Воспользоваться формулой типа Коши для 1-ой производной.

Дата добавления: 2014-01-07