Кривизна лучей и ее связь с градиентом скорости

Пусть ds – элемент криволинейного луча, а di – угол между касательными к лучу в близких точках А и В.

Рис.2.3.

- кривизна.

Выразим di и ds через изменения скорости в среде. Для этого часть непрерывной среды, в которой рассматривается луч, заменим горизонтально-слоистой средой, изображенной на рис 2.3. Изменение угла di при преломлении найдем, применяя закон преломления:

Вспомним, что

sin(i+di)=sini cosdi + sindi cosi

di – бесконечно малый угол,

отсюда

cos di =1, sin di=di

sin(i+di)=sin i+ di cos i (1)

Из выражения (1) получим

Дифференциал дуги луча АВ находим из Δ ABC (рис.2.3)

Здесь z – направление нормали к изолинии скорости. Подставим выражения di и ds в формулу для кривизны луча, получим

Учитывая, что

= grad v(z)

так как скорость зависит только от z.

k=p grad v. (2)

С ледующие следствия вытекают из формулы (2)

1. Чем больше градиент в среде, тем больше кривизна лучей

2. Лучи имеют постоянную кривизну, т. е представляют собой дуги окружностей, только в среде, где скорость линейная функция глубины. Пусть луч – окружность, тогда

k = p grad v= const= c ₁

grad v=c₁/p=dv/dz

v=c₁/p z+c₂

k=c₁=const – луч – окружность

3. Луч обращен выпуклостью вниз, если скорость возрастает с глубиной, то есть градиент скорости – положителен. Если же скорость сначала возрастает с глубиной, затем убывает, то луч из выпуклого делается вогнутым, то есть имеет точку перегиба.

4. Чем больше i₀ - угол выхода луча из источника, тем больше его кривизна в этой точке.

Дата добавления: 2014-01-07